Неизменность положения оси гироскопа в пространстве объясняется исходя из уравнения моментов, применимого к описанию вращательного движения твердого тела, закрепленного в точке:
d L /dt = M.
На гироскоп действуют сила тяжести и силы реакции со стороны подшипников. Результирующий момент сил реакции подшипников M 1 и M 2, в которых закреплена ось гироскопа, равен нулю, поскольку подшипники располагаются симметрично относительно СО, связанной с центром масс, а вектора сил F 1 и F 2, созданных этими силами, равны. Можно показать, что равен нулю и момент однородного поля силы тяжести Mт, в котором находится гироскоп относительно его центра масс. Действительно,
Mт = S[ r i, mi·g] = S[mi· r i, g ] = [m· r c, g ] = 0,
где r c - радиус-вектор центра масс гироскопа;
r i и mi - радиус-вектор и масса i-й части гироскопа.
Итак, мы доказали, что результирующий момент внешних сил равен нулю. Следовательно, в отсутствие сил трения в соответствии с уравнением момент импульса гироскопа остается постоянным. Момент импульса величина векторная, и его направление для симметричных тел совпадает с направлением вектора угловой скорости L = I· ω. Таким образом, в отсутствие моментов внешних сил ось гироскопа сохраняет свое положение относительно ИСО.
|
|
При ударных воздействиях на одну из оправ гироскопа момент, создаваемый конечной по величине внешней силой, вызывает пренебрежительно малое изменение величины момента импульса DL = M·Dt (DL/L << 1). Следовательно, направление оси гироскопа, совпадающее с вектором L при быстром вращении, за время удара не успевает измениться.
Рассмотрим движение гироскопа под действием постоянно действующего момента внешней силы. Пусть начальный момент импульса гироскопа L 0 направлен вдоль оси X. Пусть к оси (соответствующему кольцу "карданова подвеса") приложена сила F, направлен вдоль вертикальной оси Z. Момент этой силы, равный векторному произведению [ r, F ], сориентирован вдоль горизонтальной оси Y. В данном направлении согласно основному закону динамики вращательного движения сориентирован также и вектор элементарного приращения момента импульса d L. Таким образом, по истечении времени dt момент импульса L изменит свое направление в пространстве, повернувшись на некоторый угол da вокруг оси Z:
L = L 0 + d L.
Покажем, что ось гироскопа при быстром его вращении повернется вокруг оси Z на такой же угол. Действительно, диск гироскопа участвует в двух движениях: быстром вращении вокруг своей оси и медленном, связанном с поворотом этой оси. Таким образом, ось симметрии гироскопа не совпадает по направлению с мгновенной осью вращения и,следовательно направлением вектора момента импульса. Однако при большой скорости вращения гироскопа (малом отношении dL/L) этим различием можно пренебречь и считать, что вектор момента импульса сориентирован вдоль оси симметрии гироскопа и движется вместе с ней.
|
|