Клиент 9

21 22 23 24 25 26 27

1)Ф (11,37-24,73)/8,1=Ф(-1,65)= -0,4505

2)Ф (11,37-33,73)/8,1=Ф(-2,76)= -0,4971

3) Ф(11,37-24,73)/15,8=Ф(-0,85)= -0,3023

4) Ф(11,37-33,73)/15,8=Ф(-1,42)= -0,4222

Р(х)_min= -0,4971 Р(х)_max= -0,3023

1)Ф (0-24,73)/8,1=Ф(-3,05)= -0,49865

2)Ф (0-33,73)/8,1=Ф(-4,16)= -0,499966

3) Ф(0-4,73)/15,8=Ф(-1,57)= -0,4418

4) Ф(0-33,73)/15,8=Ф(-2,13)= -0,4838

Р(х)_min= -0,499966 Р(х)_max= -0,4418

Р_min =-0,4971-(-0,4418)=-0,0553

Р_max =0,3023-(-0,499966)=0,802

Р_р=((0,0553+0,802)/2)*100%=37,34

Итоговое решение о степени риска продолжения взаимоотношений с конкретным клиентом принимается исходя из анализа полученной вероятности и диаграммы областей риска и диаграммы областей риска

Рис. 1

Характеристики областей риска.

1. Безрисковая область характеризуется отсутствием каких-либо потерь при заключении и действии договора с гарантией, что все пойдет по установленным в договоре правилам. Коэффициент риска, характеризующий его степень в этой области равен нулю (К_r=0).

2. Область минимального риска (0-1).

В пределах этой области целесообразно принимать решения по заключению договоров с грузовладельцами, так как величина потерь в этих случаях незначительна, несколько меньше ожидаемой прибыли. Коэффициент риска в этой области изменяется в пределах 0-25%.

3. Область среднего риска (1-2).

В этой области возможно осуществление производственно-финансовой деятельности, но нежелательно, так как в ее пределах ДЦФТО рискует тем,

что в результате заключения договора он произведет только покрытие всех затрат. Коэффициент риска в этой области находиться в пределах 25-50%.

4. Область высокого риска (2-3).

В границах этой области риск нежелателен, поскольку ДЦФТО при заключении договоров в такой ситуации подвергается опасности понести существенные расходы. Коэффициент риска этой области имеет пределы 50-75%.

5. Область максимального риска (3-4).

Риск в этой области недопустим, так как в ее границах возможны такие потери, которые повлияют не только на показатели работы ДЦФТО, но и на конечные результаты деятельности всей железной дороги. Коэффициент риска в этой области изменяется в пределах 75-100%.

Таблица 10

Результаты расчетов определения степени риска

Клиент			ДИ для	ДИ для	Р_max	P_min	P_p
	11.37	7,07	[8.71;14.03]	[4.8;9.3]	0,707	0,1176	41,23
	9.27	5,84	[7.07;11.47]	[3.9;7.7]	0,7107	0,3092	50,99
	33.16	13,57	[28.05;38.27]	[9.2;17.9]	0,1762	-0,0564	5,99
	11.1	4,66	[9.34;12.86]	[3.2;6.2]	0,736	0,2537	49,49
	10.4	4,43	[8.73;12.07]	[3.0;5.8]	0,811	0,6117	57,73
	29.23	11,96	[24.73;33.73]	[8.1;15.8]	0,802	-0,0553	37,34

Таблица 11

Клиент	Вероятность задержки на срок менее 14 дней, Р_р%	Вероятность задержки на срок более 14 дней, (100-Р_р)%	Степень риска (определяется по диаграмме на рис.1)
	41,23	58,77	Область высокого риска
	50,99	49,01	Область среднего риска
	5,99	94,01	Область макс.риска
	49,49	50,51	Область высокого риска
	57,73	42,27	Область среднего риска
	37,34	62,66	Область высокого риска

Вывод:

Клиенты №2,7 попадают в область среднего риска. В этой области возможно осуществление производственно-финансовой деятельности, но нежелательно, так как в ее пределах ДЦФТО рискует тем, что в результате заключения договора он произведет только покрытие всех затрат.

Клиенты №1,6,9 попадают в область высокого риска. В границах этой области риск нежелателен, поскольку ДЦФТО при заключении договоров в этой ситуации подвергается опасности понести существенные расходы.

Клиент №4 попадает в область максимального риска. Риск в этой области недопустим, так как в ее границах возможны такие потери, которые повлияют не только на показатели работы ДЦФТО, но и на конечные результаты деятельности всей железной дороги.

ЗАДАНИЕ 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Инвестор планирует вложить капитал в ценные бумаги. После анализа рынка ценных бумаг оказалось, что наиболее подходящими являются два варианта вложения средств: вариант А с номиналом 100 руб./акция и вариант Б с номиналом 110 руб./акция. Кроме того имеется возможность вложить средства в безрисковые ценные бумаги с эффективностью 3%. Исходные данные для расчета параметров следует взять из задания №1, учитывая, что бумаг каждого вида имеется по 10000 штук.

= 137,6 тыс. руб. = 45,52 тыс. руб.

= 119,89 тыс. руб. = 12,77 тыс. руб.

В задании необходимо:

1. Используя только рисковые ценные бумаги и приняв, что ценные бумаги не коррелированы (независимы друг от друга), составить 11 портфелей по следующему принципу: в портфеле с номером i = 0…10 доля первых бумаг составляет х₁=1-0,1i, доля вторых составляет х₂= (1- х₁), рассчитать их характеристики. Повторить расчеты для случаев положительно коррелированных бумаг рост (снижение) доходности одной бумаги сопровождается ростом (снижением) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах: (0 1) и отрицательно коррелированных бумаг рост (снижение) доходности одной бумаги сопровождается снижением (ростом) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах: (-1 0). Результаты оформить в виде таблиц, отдельно для некоррелированных бумаг, положительно коррелированных и отрицательно коррелированных бумаг, нанести портфели на плоскость риск-эффективность и отметить траектории эффективных портфелей.

2. Сформулировать и решить задачи формирования портфелей минимального риска при заданной эффективности и портфелей максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: акции А, акции Б и безрисковых ценных бумаг.

Риск портфеля – 20 %

Доходность - 9,5 %

Решение

1. На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Инвестор, у которого есть свободный капитал, всегда будет искать на финансовом рынке активы, способные удовлетворить его пожелания относительно пропорции между доходностью и риском.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг.

Набор ценных бумаг, находящийся у участников рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его ценных бумаг. Доходность портфеля – это доходность на единицу стоимости портфеля, выраженная в процентах годовых.

Пусть х_i – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i –го вида. Весь капитал принимается за единицу, поэтому очевидно, что х_i = 1. Пусть d_i – доходность в процентах годовых ценных бумаг i –го вида в расчете на одну денежную единицу, определяем по формуле

где - прибыль, полученная на весь пакет ценных бумаг.

= 137,6 тыс. руб.

= 119,89 тыс. руб.

Ст_i – стоимость i –той бумаги

d_А=(137.6*10³/(10000*100))*100%=13,8

d_Б=(119,89*10³/(10000*110))*100%=11,9

Тогда доходность всего портфеля определяют по формуле

d_р0 = 1*13,8+0*9,5 =13,8%

d_р1 = 0,9*13,8+0,1*9,5 =13,37%

d_р2 = 0,8*13,8+0,2*9,5 =12,94%

d_р3 = 0,7*13,8+0,3*9,5 =12,51%

d_р4 = 0,6*13,8+0,4*9,5 =12,08%

d_р5 = 0,5*13,8+0,5*9,5 =11,65%

d_р6 = 0,4*13,8+0,6*9,5 =11,22%

d_р7 = 0,3*13,8+0,7*9,5 =10,79%

d_р8 = 0,2*13,8+0,8*9,5 =10,36%

d_р9 = 0,1*13,8+0,9*9,5 =9,93%

d_р10 = 0*13,8+1*9,5 = 9,5%

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени и является, строго говоря, случайной величиной. Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и суммарная доходность портфеля также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля определяем по формуле

m_A ₁=(175*10³/10000-100)*100%=17,5%

m_A ₂=(304*10³/10000-100)*100%=30,4%

m_A ₃=(130*10³/10000-100)*100%=13%

m_A ₄=(120*10³/10000-100)*100%=12%

m_A ₅=(117*10³/10000-100)*100%=11,7%

m_A ₆=(150*10³/10000-100)*100%=15%

m_A ₇=(161*10³/10000-100)*100%=16,1%

m_A ₈=(144*10³/10000-100)*100%=14,4%

m_A ₉=(201*10³/10000-100)*100%=20,1%

m_A ₁₀=(18*10³/10000-100)*100%=1,8%

m_A ₁₁=(62*10³/10000-100)*100%=6,2%

m_A ₁₂=(88*10³/10000-100)*100%=8,8%

m_Б ₁=(100*10³/10000-110)*100%=1%

m_Б ₂=(106*10³/10000-110)*100%=1,06%

m_Б ₃=(118*10³/10000-110)*100%=1,18%

m_Б ₄=(130*10³/10000-110)*100%=1,3%

m_Б ₅=(152*10³/10000-110)*100%=1,52%

m_Б ₆=(120*10³/10000-110)*100%=1,2%

m_Б ₇=(129*10³/10000-110)*100%=1,29%

m_Б ₈=(124*10³/10000-110)*100%=1,124%

Дисперсия доходности портфеля бумаг по прошлым данным:

D_А²= (1/311-1) *∑((17,5-13,8)²*28+(30,4-13,8)²*6+(13-13,8)²*11+(12-13,8)²*43+(11,7-13,8)²*27+(15-13,8)²*38+(16,1-13,8)²*39+(14,4-13,8)²*45 +(20,1-13,8)²*23+(1,8-13,8)²*3+(6,2-13,8)²*17+(8,8-13,8)²*31)= (1/311-1)*5681,13=18,33

D_А=4,28

D_Б²=(1/70-1)*∑((1-11,9)²*7+(1,06-11,9)²11+(1,18-11,9)²*15+(1,3-11,9)²*6+(1,52-11,9)²*4+(1,2-11,9)²*8+(1,29-11,9)²*9+(1,24-11,9)²*10)=115,19

D_Б=10,73

Определяем дисперсию доходности

D_p₀=4,28²*1+10,73²*0=18,32

D_p₁=4,28²*0,9+10,73²*0,1= 24,26

D_p₂=4,28²*0,8+10,73²*0,2=31,02

D_p₃=4,28²*0,7+10,73²*0,3=38,63

D_p₄=4,28²*0,6+10,73²*0,4=14,90

D_p₅=4,28²*0,5+10,73²*0,5=56,33

D_p₆=4,28²*0,4+10,73²*0,6=66,42

D_p₇=4,28²*0,3+10,73²*0,7=77,35

D_p₈=4,28²*0,2+10,73²*0,8=89,11

D_p₉=4,28²*0,1+10,73²*0,9=101,71

D_p₁₀=4,28²*0+10,73²*1=115,13

Определяем среднеквадратическое отклонение:

σ_p0=4.28

σ_p1=4.93

σ_p2=5.57

σ_p3=6.22

σ_p4=6.86

σ_p5=7.51

σ_p6=8.15

σ_p7=8.80

σ_p8=9.44

σ_p9=10.09

σ_p10=10.73

Определяем риск портфеля (коэффициент вариации):

V₀= 4,28/13.8*100% = 31.01%

V₁= 4.93/13.37*100% = 36.87%

V₂= 5.57/12.94*100% = 43.04%

V₃= 6.22/12.51*100% = 49.72%

V₄= 6.86/12.08*100% = 56.79%

V₅= 7.51/11.65*100% = 64.46%

V₆= 8.15/11.22*100% = 72.64%

V₇= 8.8/10.79*100% = 81.56%

V₈= 9.44/10.36*100% = 91.12%

V₉= 10.09/9.93*100% = 101.61%

V₁₀= 10.73/9.5*100% = 112.95%

Таблица 8

Номер портфеля Показатель
Х₁		0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
Х₂		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Доходность %	13.8	13.37	12.94	12.51	12.08	11.65	11.22	10.79	10.36	9.93	9.5
Дисперсия доходности, (%)²	18.32	24.26	31.02	38.63	14.9	56.33	66.42	77.35	89.11	101.71	115.13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4.28	4.93	5.57	6.22	6.86	7.51	8.15	8.80	9.44	10.09	10.73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31.01	36.87	43.04	49.72	56.79	64.46	72.64	81.56	91.12	101.61	112.95

Каждый инвестор сталкивается с дилеммой выбора между доходностью и риском. Любой портфель оценивается по двум критериям – эффективности (доходности) и риску. Между портфелями существует отношение доминирования. Один портфель будет недоминируемым, когда для двух портфелей с эффективностью и риском (е₁, r₁) и (е₂, r₂), соответственно, выполняются условия Такой портфель будет называться эффективным.

Для аналитического построения траектории эффективных портфелей, рассмотрим возможность комбинирования в портфеле двух видов рисковых ценных бумаг с характеристиками (m₁, ₁) (m₂, ₂).

Воспользуемся определением парного коэффициента корреляции и преобразуем формулу для дисперсии и доходности портфеля к следующему виду, предполагая n=2.

При прямой зависимости бумаг одного вида от другого r = -0,5.

D_p₀= 1² *(4.28)²+2*1*0*(-0,5)*4.28*10.73+0²*(10.73)²=18,32%

D_p₁= 0,9² *(4,28)²+2*0,9*0,1*(-0,5)*4,28*10,73+0,1²*(10,73)²= 11,86%

D_p₂= 0,8² *(4,28)²+2*0,8*0,2*(-0,5)*4,28*10,73+0,2²*(10,73)²=8,98%

D_p₃= 0,7² *(4,28)²+2*0,7*0,3*(-0,5)*4,28*10,73 +0,3²*(10,73)²= 9,7%

D_p₄= 0,6² *(4,28)²+2*0,6*0,4*(-0,5)*4,28*10,73+0,4²*(10,73)²= 14%

D_p₅= 0,5² *(4,28)²+2*0,5*0,5*(-0,5)*4,28*10,73+0,5²*(10,73)²= 21,88%

D_p₆= 0,4² *(4,28)²+2*0,4*0,6*(-0,5)*4,28*10,73+0,6²*(10,73)²= 33,36%

D_p₇= 0,3² *(4,28)²+2*0,3*0,7*(-0,5)*4,28*10,73+0,7²*(10,73)²= 48,42%

D_p₈= 0,2² *(4,28)²+2*0,2*0,8*(-0,5)*4,28*10,73+0,8²*(10,73)²= 66,94%

D_p₉= 0,1² *(4,28)²+2*0,1*0,9*(-0,5)*4,28*10,73+0,9²*(10,73)²= 90,13%

D_p₁₀= 0² *(4,28)²+2*0*1*(-0,5)*4,28*10,73+1²*(10,73)²=115,13%

σ_р0=4,28

σ_р1=3,44

σ_р2=2,99

σ_р3=3,11

σ_р4=3,74

σ_р5=4,68

σ_р6=5,78

σ_р7=6,96

σ_р8=8,18

σ_р9=9,49

σ_р10=10,73

V₀= 4,28/13,8*100% = 31,01 %

V₁= 3,44/13,37*100% = 25,73 %

V₂= 2,99 /12,94*100% = 23,11 %

V₃= 3,11/12,51*100%= 24,86 %

V₄= 3,74/12,08*100%= 30,96 %

V₅= 4,68/11,65*100% = 40,17 %

V₆= 5,78/11,22*100%= 51,52 %

V₇= 6,96/10,79*100%= 64,50 %

V₈= 8,18/10,36*100%= 78,96 %

V₉= 9,49/9,93*100%= 95,57 %

V₁₀= 10,73/9,5*100%= 112,95 %

Таблица 9

Номер портфеля Показатель
Х₁		0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
Х₂		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Доходность %	13,8	13,37	12,94	12,51	12,08	11,65	11,22	10,79	10,36	9,93	9,5
Дисперсия доходности, (%)²	18,32	11,86	8,98	9,7		21,88	33,36	48,42	66,94	90,13	115,13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4,28	3,44	2,99	3,11	3,74	4,68	5,78	6,96	8,18	9,49	10,73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31,01	25,73	23,11	24,86	30,96	40,17	51,52	64,50	78,96	95,57	112,95

При обратной зависимости бумаг одного вида от другого r= 0,5.

D_p₀= 1² *(4,28)²+2*1*0*0,5*4,28*10,73+0²*(10,73)²=18,32%

D_p₁= 0,9² *(4,28)²+2*0,9*0,1*0,5*4,28*10,73+0,1²*(10,73)²= 20,12%

D_p₂= 0,8² *(4,28)²+2*0,8*0,2*0,5*4,28*10,73+0,2²*(10,73)²=23,68%

D_p₃= 0,7² *(4,28)²+2*0,7*0,3*0,5*4,28*10,73+0,3²*(10,73)²= 28,98%

D_p₄= 0,6² *(4,28)²+2*0,6*0,4*0,5*4,28*10,73+0,4²*(10,73)²=36,03 %

D_p₅= 0,5² *(4,28)²+2*0,5*0,5*0,5*4,28*10,73+0,5²*(10,73)²= 44,84%

D_p₆= 0,4² *(4,28)²+2*0,4*0,6*0,5*4,28*10,73+0,6²*(10,73)²= 55,4%

D_p₇= 0,3² *(4,28)²+2*0,3*0,7*0,5*4,28*10,73+0,7²*(10,73)²= 67,7%

D_p₈= 0,2² *(4,28)²+2*0,2*0,8*0,5*4,28*10,73+0,8²*(10,73)²= 81,76%

D_p₉= 0,1² *(4,28)²+2*0,1*0,9*0,5*4,28*10,73+0,9²*(10,73)²= 97,57%

D_p₁₀= 0² *(4,28)²+2*0*1*0,5*4,28*10,73+1²*(10,73)²=115,13%

σ_р₀=4,28

σ_р₁=4,48

σ_р₂=4,87

σ_р₃=5,38

σ_р₄=6,00

σ_р₅=6,69

σ_р₆=7,44

σ_р₇=8,23

σ_р₈=9,04

σ_р₉=9,88

σ_р10=10,73

V₀= 4,28/13,8*100% = 31,01%

V₁= 4,48/13,37*100% = 33,51%

V₂= 4,87/12,94*100% = 37,64%

V₃= 5,38/12,51*100%= 43,00%

V₄= 6,00/12,08*100%= 49,67%

V₅= 6,69/11,65*100% = 57,42%

V₆= 7,44/11,22*100%= 66,31%

V₇= 8,23/10,79*100%= 76,27%

V₈= 9,04/10,36*100%= 87,26%

V₉= 9,88/9,93*100%= 95,37%

V₁₀= 10,73/9,5*100%= 165,08%

Таблица 10

Номер портфеля Показатель
Х₁		0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
Х₂		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Доходность %	13,8	13,37	12,94	12,51	12,08	11,65	11,22	10,79	10,36	9,93	9,5
Дисперсия доходности, (%)²	18,32	20,12	23,68	28,98	36,03	44,84	55,4	67,7	81,76	97,57	115,13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4,28	4,48	4,87	5,38	6,00	6,69	7,44	8,23	9,04	9,88	10,73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31,01	33,51	37,64	43,00	49,67	57,42	66,31	76,27	87,26	95,37	165,08

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне. Рассмотрим математическую формализацию задачи формирования оптимального портфеля, которую предложил американский экономист Марковиц.

Задача формируется следующим образом: необходимо сформировать два портфеля, один из которых обеспечивает наибольшее значение ожидаемой доходности для фиксированного уровня риска, а другой – наименьший риск для заданной ожидаемой доходности.

Математически задача определяется следующими формулами:

1. Максимизация доходности при фиксированном уровне риска