Дифракция Френеля от простейших преград

Дифракция от круглого отверстия. Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса R так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника S, попал в центр отверстия. На продолжении этого отверстия возьмем точку В. При R<<a, b (см. рис. 3) и если они удовлетворяют соотношению

(9)

где m – целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля (см. формулу (4)). Следовательно число открытых зон Френеля определяется выражением

(10)

В соответствии с формулой (5) амплитуда в точке В:

А = А₁ – А₂ +А₃ – А₄ + … ± А_m. (11)

Перед А_m берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m – четное. Представив выражение (11) в виде (6) придем к соотношениям:

А = A₁/2 + A_m/2 (m – четное),

А = A₁/2 + A_m-1/2 – А_m (m – нечетное).

В последнем выражении амплитуды от соседних зон практически одинаковы. Поэтому A_m-1/2 - А_m можно заменить через - A_m/2. Тогда получим:

А= A₁/2 ± A_m/2, (12)

где знак плюс берется для нечетных и минус для четных.

В зависимости от того открыто четное или нечетное количество зон Френеля в точке В будет изменяться освещенность. При открытии нечетного количества зон будет наблюдаться максимум. При увеличении радиуса отверстия или смещении экрана с отверстием так, чтобы начала открываться четная зона Френеля максимум интенсивности будет уменьшаться и при некотором значении достигнет минимума. Освещенность же в разных точках экрана также будет определяться четностью или нечетностью количества открытых зон Френеля, образуя чередующиеся темные и светлые концентрические кольца. При перемещении экрана параллельно самому себе эти кольца попеременно меняют друг друга (см. рис.4). Если отверстие открывает лишь часть первой зоны, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не наблюдается. Если отверстие открывает слишком большое количество зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой на границе геометрической тени.

Дифракция от круглого диска. Если непрозрачный круглый диск радиуса R, помещенный между источником света S и точкой наблюдения В (рис.4), закрывает m первых зон Френеля, амплитуда в точке В равна:

А=А_m+1 - A_m+2 + A_m+3 - …= А_m+1/2 + (А_m+1/2 - А_m+2 + А_m+3/2) + …

Выражения в скобках можно приближенно взять равным нулю. Тогда

А = А_m+1/2 (13)

В данном случае закрытый диском участок волновой поверхности исключается из рассмотрения и открытые зоны Френеля строят, как это показано на рисунке, начиная от краев диска. Повторяя рассуждения, приведенные для случая дифракции от круглого отверстия, получаем, что амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми открытыми зонами Френеля, равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной Френеля. Следовательно, в точке В всегда наблюдается максимум (светлое пятно, называемое пятном Пуассона), соответствующее половине действия первой открытой зоны Френеля. При увеличении диаметра диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и яркость пятна Пуассона уменьшается. при больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой наблюдается весьма слабая дифракционная картина.