В общем виде линейное дифференциальное уравнение с частными производными и постоянными коэффициентами можно представить в виде:
, (1)
где – постоянные, – заданная функция двух переменных.
Для определения вида этого уравнения и приведения к канонической форме по-прежнему надо составить характеристические уравнения, которые в этом можно проинтегрировать:
, .
А) Если , то уравнение (1) принадлежит к гиперболическому виду, и вводя обозначение , , получим два семейства характеристик
и .
Вводя новые переменные , получим канонический вид уравнения (1):
(2)
или
. (2’)
Б) Если , то уравнение (1) принадлежит к эллиптическому виду, и, вводя обозначение , , получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик
.
Вводя новые переменные , получим канонический вид уравнения (1):
. (3)
В) Если , то уравнение (1) принадлежит к параболическому виду, обозначая получим семейство характеристик . Вводя новые переменные
, ,
где – произвольная функция, удовлетворяющая условию , получим каноническую форму для уравнения (1):
|
|
. (4)
Для дальнейшего упрощения уравнений (2) или (2’), (3), (4) вводим новую функцию по формуле , где и некоторые произвольные постоянные.
В результате преобразований, получаем:
(5)
– каноническая форма для эллиптического уравнения;
(6)
или
(6’)
– канонические формы для гиперболического уравнения.
(7)
– каноническая форма для параболического уравнения.
Замечание.
Аналогичный признак принадлежности к тому или иному типу уравнения может быть положен в основу классификации линейных уравнений вида
(**)
со многими независимыми переменными , где , , с – постоянные коэффициенты.
Уравнение (**) называется:
эллиптическим, если все коэффициенты не равны нулю и имеют один и тот же знак;
гиперболическим, если коэффициенты все не равны нулю, и все, кроме одного (например, ), имеют один и тот же знак, а имеет противоположный знак;
параболическим, если коэффициенты все, кроме одного (например, ), не равны нулю и имеют один и тот же знак, а и .