Тема 11.4. Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду, їх властивості та обчислення, застосування.
Обчислення довжини, маси і т. ін. регулярної кривої, площі пласкої однозв'язної області. Визначення незалежності інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування. Відшукування функцій по їх диференціалах. Застосування теореми Гріна.
ВПРАВИ.
1. Задане коло: х = R×cost, y = R×sint, tÎ[0,2p]. Обчислити:
а) Криволінійний інтеграл І роду
б) Криволінійний інтеграл ІІ роду вздовж L в напрямі зростання параметра t безпосередньо і за формулою Гріна.
R = , g(x,y) = 2y-x, P = x2, Q = y-x.
Розв’язання. а) Використовуємо формулу обчислення криволі-нійного інтеграла І роду: .
= - це відповідь.
б) Використовуємо формулу обчислення криволінійного інтеграла ІІ роду:
.
Використовуємо формулу Гріна:
.
Область D обмежена контуром L.
,
цей інтеграл визначає площу області D, площу круга радіуса і дорівнює . Відповідь: даний інтеграл дорівнює -3p.
2. Обчислити криволiнiйний iнтеграл:
де l - пiвколо вiд t1=0 до t2=
Розв`язання.
|
|
Визначаємо диференцiали dx=-asintdt, dy=acostdt.
Пiдставивши в даний iнтеграл значення змiнних
x,y та їх диференцiали одержимо: