---Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию
f (x) dx + g (y) dy = 0.
| (10)
|
Пусть y (x) - решение этого уравнения, т.е. f (x) dx + g (y (x)) dy (x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
---Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида
или
| (11)
|
f 1(x) g 1(y) dx + f 2(x) g 2(y) dy = 0
| (12)
|
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g (y) и умножаем на dx: .
|
| Уравнение (12) делим на f 2(x) g 1(y): .
|
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
|
.
|
| .
|
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
|
Если функция g (y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции y = y 1, y = y 2,
y = y 3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.
|
| Если функция f 2(x) имеет действительные корни x 1, x 2, x 3, …, функция g 1(y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции x = x 1, x = x 2, x = x 3, …, y = y 1, y = y 2, y = y 3, … являются решениями исходного уравнения.
|
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
|