У принциповому плані він являє собою узагальнення раніше розглянутого методу дотичних.
Припустимо, що вихідна система рівнянь має вигляд (5.4) або в згорнутому вигляді
. (5.41)
Нехай ,- деяке наближення до рішення. Розкладемо ліві частини (5.4), (5.41) по формулі Тейлора, обмежуючись обліком малих першого порядку. У результаті цього, одержимо
,
або, у більше зручному, матричному вигляді
,
де ,- матриця Якоби системи функцій . Припускаючи, що , розв'яжимо останнє рівняння відносно x. Тоді
і на основі цього співвідношення формується обчислювальний процес
, (5.5) |
який і називається методом Ньютона.
Якщо послідовність сходиться до деякого вектора x, то він очевидно, і є рішенням системи (5.41). Дійсно, у цьому випадку з (5.5) треба
,
звідки, у силу , .
Питання збіжності послідовності (5.5) можуть бути вивчені також, як у п. 5.2. Достатнім для реалізації методу в області D, що містить рішення, є вимога .