Дифференциал функции.
Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством . Отношение при стремится к определенному числу и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую: , где при . Умножая все члены последнего равенства на , получим: , где - бесконечно малая величина. Произведение называют дифференциалом функции и обозначают через или . Если функция имеет производную в точке , то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом :
или (6)
Производные высших порядков. Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Значение производной зависят от . Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции . Производная от первой производной называется производной второго порядка от первоначальной функции и обозначается символом или .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается через или .
|
|
Производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка и обозначается символом или : .
Пусть , пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени выражается формулой ; Как известно, . Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: или но, так как то
, т.е. ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.
Задание на СРС:
1. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля (корни производной), Лагранжа (конечные приращения), Коши (отношения приращения)).[1,2-с.163]
2. ИДЗ-стр.291-299, № 4-7.[3] (Срок сдачи по графику)
Задание на СРСП:
1. Правило Лопиталя.Формула Тейлора и Маклорена [1,2]
Контрольные вопросы:
- Производные неявной функции.
- Производные функции, заданной параметрически.
- Касательная к кривой; Нормаль к кривой.
- Дифференциал функции.
Задачи:
№1. Найти , если: а) Ответ: .
б) Ответ: .
№2. Найти , если:
а) Ответ: .
б) Ответ: .
№3. Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: , при . Сделать чертеж. Ответ:-1.
№4. Найти дифференциалы функции:
а) Ответ:
б) Ответ:
№5. Найти производные третьего порядка
а) Ответ:
б) Ответ:
№6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Ответ: Касательная ; нормаль .
№7. Дана функция . Найти dy -?
№8. Дана функция . Найти .