Рост необратимых потерь в пограничном слое можно характеризовать ростом потока энтропии, т.е.
(3.1)
Здесь s – энтропия единицы массы, r - плотность, u – скорость; координаты - х – вдоль стенки, y – перпендикулярно стенке, индекс ¥ приписывается параметрам потока вне погранслоя.
Примем, что
R – газовая постоянная, Т 0 – температура торможения, Р 0 – давление торможения.
(3.2)
Если стенка теплоизолирована и число Р r ~ 1, то можно принять в пограничном слое Т 0 = Т 0∞
Тогда получим, что
При небольших числах М
Разложим в ряд по e, и, ограничиваясь линейным членом, получим
(3.2¢)
В знаменателе формулы (3.2¢) стоит Р 0¥» Р 0, вследствие предположения .
Интегрируя поперек пограничного слоя, найдем
(3.3)
т.е. при постоянной температуре торможения и небольших числах М поток избытка энтропии в пограничном слое пропорционален потоку потерь полного давления.
Итак, пусть
(3.4)
Пусть U – скорость потока на границе пограничного слоя, r = const (при малых М в погранслое), тогда
(3.5)
Формула связи Р 0¥; Р 0 со скоростями:
|
|
Последний интеграл есть, как известно, толщина потери энергии в пограничном слое d ***.
Таким образом, расчет потока потерь в погранслое сводится к расчету d *** [3].
Вывод уравнений для расчета интегральных характеристик погранслоя основан на предположении о том, что внешний поток оказывает влияние на погранслой только в малой окрестности избранного сечения (локальное влияние).
Тогда методами теории размерности можно получить, что [4]
Где z – какой-либо характерный размер пограничного слоя (d *, d **, и т.д.), r, U, М – плотность, скорость, число Маха во внешнем потоке над данным сечением погранслоя, рх ¢ – производная давления в данном сечении, m - характерная вязкость.
Безразмерный параметр x является малой величиной
Даже в точке отрыва его значение, являющееся максимальным при течениях с торможением, не превосходит сотых или даже тысячных (в зависимости от выбора z). Поэтому естественно разложить функцию F по степеням x, ограничиваясь первым членом.
Тогда получим
,
Если считать, что числа М < 1, то характеристики турбулентного пограничного слоя ведут себя так же, как в несжимаемой жидкости. Поэтому функции f 0 и f 1 от числа М практически не зависят, и формула приобретает вид
Функция f 0 является значением производной от z при x = 0, т.е. при отсутствии градиента давления, и имеет, как известно, в несжимаемой жидкости вид
А = 0,230 (если z = d); А = 0,017 (если z = d *)
А = 0,013 (если z = d **); А = 0,026 (если z = d ***).
Если предположить, что Re z – велико, то разлагаем f 1 – в ряд по степеням 1/Re z, ограничиваясь нулевым членом.
Тогда для производной характерного размера турбулентного погранслоя получим
|
|
(I)
Таким образом, в последнюю формулу входит только одна постоянная С, которая может быть легко определена из любого эксперимента по измерениям погранслоя по длине какого-либо тела.
В основной работе [4] были предложены значения: С = 5,7 при z = d *; C = 4,8 при z = d **.
Расчеты по этому методу лают в ряде случаев хорошее согласование с экспериментом, но не всегда.
Рассматриваемый метод расчета турбулентного пограничного слоя имеет несомненное преимущество при расчете потока потерь полного давления, т.к. за величину z может быть принята d ***, которая и определяет поток потерь. Уравнение (I) дает решение без дополнительных предположений о связях между параметрами и функциями в погранслое, что всегда приводит к дополнительным неточностям.
Итак, примем z = d ***. (Из (I) следует, что z является аналитическим решением уравнения Бернулли).
Проведем усовершенствованный вывод уравнения (I).
1) Степень x в уравнении может быть отлична от 1.
2) Зависимость f1(Re z) может содержать Re z в малой степени.
Например, f 0 ~ (Re z)-1/4. Аналогичный вид может иметь и f 1. (Re z ~ 103-104, тогда Re z 1/4 ~ 5-10, 1/Re z 1/4 ~ 0,1-0,2 – не так мала). Ответ на вопрос о зависимости f 1(Re z) может дать эксперимент, собранный в тр. Стэнфордской конференции.
Из соотношения z ¢ = f 0(Re z) + xf 1(Re z) получим
,
тогда
Из подсчетов этой величины f1, из 2-3-х экспериментов с ускорением во внешнем потоке (Рх¢ < 0) и с замедлением во внешнем потоке (Рх¢ > 0, x > 0) видно, что f1 = const при x > 0, т.е. для течений с торможением во внешнем потоке.
Для течений с ускорением во внешнем потоке можно увидеть из экспериментов, что f1Rez1/4 = const, т.е.
при x < 0, b = const (Rez подсчитан по d***).
Таким образом, для вычисления z = d*** в случае ускоренного течения во внешнем потоке получается
(при x < 0) (II)
a = 0,026, b = const определяется из какого-нибудь эксперимента.
Уравнение (II) обладает особенностью «саморегулирования», т.к. x < 0 (если z оказалась завышенной, то x снизит ее значение за счет занижения производной и наоборот).
Для течений с x > 0 это не так. Наоборот, начальная ошибка может нарастать, поэтому (если показать, как нарастает ошибка вычислений) лучше принять в формуле (I) степень x не 1, а чуть меньше 1, например 0,95 - 0,97.
Можно записать общую формулу для всех случаев
(III)
при x = 0 формула (III) переходит в известную формулу для обтекания пластины. Из экспериментов получено
a = 0,026, b = 20, c = 2,75 для d*** = z.