Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j₀ маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j₀величина , то из уравнения (20) имеем:

. (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

, (26)
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

. (27)
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

.
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

.(28)
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

,
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

. (29)

Следовательно, чем больше j₀ (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода