ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы: Изучение сложного движения твердого тела на примере движения маятника Максвелла. Определение моментов инерции твердых тел.
Оборудование: Экспериментальная установка для изучения движения маятника Максвелла, набор тел, штангенциркуль, микрометр.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
М аятник Максвелла /рис.1/ представляет собой однородный металлический диск (маховик), в середине которого укреплен стержень. К концам стержня привязаны две нити. Нити наматываются на стержень (виток к витку в направлении от концов стержня к диску). При этом диск поднимается на некоторую высоту h1. При освобождении маятника он начинает поступательное движение вертикально вниз и одновременно вращательное движение относительно оси симметрии маятника, которая проходит через центр масс диска.
В нижней точке, когда нить полностью размотана, вращение маятника продолжается по инерции. В результате нить начинает снова наматываться на стержень, а маятник подниматься вертикально вверх, замедляя свое движение. Из-за сил сопротивления со стороны окружающей среды маятник поднимается на меньшую высоту h2.
|
|
Уравнение поступательного движения маятника, связанного с движением его центра масс, определяется вторым законом Ньютона
(1)
Уравнение вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс диска, определяется уравнением моментов:
(2)
В приведенных уравнениях (1) и (2 ) a – ускорение маятника, m – его масса маятника, J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс, `T - сила натяжения нити, `MT - момент сил натяжения, и ` MTP - векторная сумма сил и моментов сил сопротивления, действующих на вращающийся маятник со стороны окружающего воздуха.
Проектируя векторные уравнения (1) и (2) на вертикальную ось и горизонтальную, совпадающую с осью вращения, получим:
(3)
(4)
Учитывая, что угловое ускорение b и ускорение центра масс диска a связаны между собой соотношением
,
и исключая из уравнений (3) и (4) силы натяжения T, получим формулу, для момента инерции маятника Максвелла
(5)
Здесь R - радиус стержня, на который наматывается нить.
При небольших скоростях движения маятника силы сопротивления и их результирующий момент будут линейными функциями скорости. Поэтому ускорение маятника a не будет постоянной величиной. Оно будет уменьшаться. Однако, как показывает опыт, величина сил сопротивления и их моментов невелика и среднее ускорение маятника может быть определено по формуле
,
в которую входит время t, за которое маятник опускается до своего нижнего уровня, пройдя расстояние h1.
|
|
Для определения момента сил сопротивления MTP воспользуемся законом сохранения энергии, в соответствии, с которым полная энергия маятника E в процессе его движения должна оставаться постоянной величиной
E1 = E2. или
К1 + П1 +U1 = К2 + П2 +U2
Строго говоря, закон сохранения энергии выполняется для механической системы "Маятник - Земля".
Принимая во внимание, что в положении 1 (на высоте h1) и в положении 2 (на высоте h2) кинетическая энергиямаятника равна нулю
K1 = K2 = 0, приходим к выводу о том, что потенциальная энергия маятника уменьшится за счет увеличения внутренней энергии данной системы
П1 - П2 = U2 - U1.
Будем полагать, что изменение внутренней энергии DU связано с работой сил сопротивления
ATP = -DU.
Работу сил сопротивления можно найти по формуле
ATP = - (MTPDj + FТР Ds).
Знак "минус" указывает на то, что векторы и , и направлены в противоположные стороны.
Учитывая это, получим
П1 - П2 = MTP×Dj + FТР Ds.
Замечая далее, что
П1 = mgh1; П2 = mgh2; Dj. = Dj1 + Dj2;
,
где Dj1 - угол, на который повернется маятник вокруг своей оси при движении вниз, Dj2 - угол, на который повернется маятник вокруг своей оси при движении вверх, Ds – общее перемещение маятника. Теперь для среднего момента сил сопротивления MTP и среднего значения сил сопротивления окончательно получим
(6)
Следует заметить, что средние значения сил и моментов сил сопротивления, представленных в уравнениях движения (3) и (4), не равны их средним значениям фигурирующим в уравнении (6). Первые из них являются средними по времени, вторые – средними по расстоянию. Связь между ними в рассматриваемом нами случае легко установить.
Полагая, что величина силы сопротивления прямо пропорциональна скорости, для средней силы по времени и расстоянию получим:
. Если u = at, то ;
Из приведенных соотношений следует, что
, .(7)
Учитывая формулы (5) – (7), для момента инерции маятника окончательно получим
. (8)
Справедливость формулы (8) проверяется в данной работе.