Топологические параметры цепи

Электрической цепью называют совокупность тел и сред, образующих замкнутые пути для протекания электрического тока.

Обычно физические объекты и среду, в которой протекает электрический ток, упрощают до условных элементов и связей между ними. Тогда определение цепи можно сформулировать как совокупность различных элементов, объединенных друг с другом соединениями или связями, по которым может протекать электрический ток.

Элементами электрической цепи являются источники электрической энергии, активные и реактивные сопротивления (см. и изучите условные обозначения для электрических схем).

Связи в электрической цепи изображаются линиями и по смыслу соответствуют идеальным проводникам с нулевым сопротивлением.

Связи цепи, наряду с элементами, определяют ее свойства и для одних и тех же элементов можно создать множество различных электрических цепей различающихся только связями.

Связи элементов электрической цепи обладают топологическими свойствами, т.е. они не изменяются при любых преобразованиях, производимых без разрыва связей. Пример такого преобразования показан на рис. 1.

Возможность взаимно однозначного преобразования электрической цепи позволяет использовать его до начала анализа для приведения схемы к наиболее простому и легко воспринимаемому виду. Так схема на рис. 1 б) выглядит значительно проще, чем схема а).

Для описания топологических свойств электрической цепи используются топологические понятия, основными из которых являются узел, ветвь и контур.

Узлом электрической цепи называют место (точку) соединения трех и более элементов.

Графически такое соединение может изображаться различными способами.

Обратите внимание на точку в месте пересечения линий схемы. Если она отсутствует, то это означает отсутствие соединения. Точка может не ставиться там, где при пересечении линия заканчивается (рисунок а)).

Узел не обязательно имеет вид точки. На рис. 1 б) вся нижняя линия связи, соединяющая R ₂, E, R ₅ и R ₃, является узлом, а на рис. 1 а) этот же узел представлен диагональной связью.

2 метод уравнения Кирхгофа

Анализ резистивных цепей заключается в следующем. Даны электрическая цепь и значения всех элементов. Требуется рассчитать токи во всех ветвях.

План анализа:

Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.

Определить общее количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

y = N_у – 1	1 Закон Кирхгофа
K = N_в – N_у + 1 – N_т	2 Закон Кирхгофа

где:
N_у — число узлов;
N_в — число ветвей;
N_т — число источников тока;
y — количество уравнений по первому закону Кирхгофа;
К — количество уравнений по второму закону Кирхгофа.

Записать y уравнений по первому закону Кирхгофа.

p
k = 1	I_k = 0

где:
р — число токов в узле;
I_k — ток в ветви k.
Ток пишется со знаком +I_k, если он направлен от узла и –I_k — если к узлу (или все наоборот).

Выбрать k независимых контуров. Первый контур выбирается произвольно и в нем произвольно задается положительное направление обхода контура. Затем размыкают (мысленно) какую либо ветвь выбранного контура для того, чтобы по ней нельзя было пройти второй раз. В оставшейся цепи выбирают следующий контур и снова размыкают какую-либо ветвь и т.д. Затем для каждого выбранного контура записывают уравнения по второму закону Кирхгофа.

m		n
k = 1	R_k * I_k =	k = 1	E_k

где:
m — число ветвей в контуре;
n — число источников ЭДС в контуре;
R — общее сопротивление ветви k.

ЭДС пишется со знаком “плюс”, если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением ЭДС, и “минус”, если не совпадает. Падение напряжения R_k I_kзаписывают со знаком “плюс”, если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением тока I_k, и “минус”, если не совпадает.

Получившуюся систему уравнений решают относительно токов.

Замечание. Следует помнить, что второй закон Кирхгофа в резистивных и только в резистивных цепях справедлив также для действующих, максимальных, амплитудных значений и размахов.

Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.

Узел электрической цепи

Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой.

Ветвь электрической цепи

Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы.

Контур электрической цепи

Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.

I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.

II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

1. Произвольно назначают направления токов в ветвях.

2. Произвольно назначают направления обхода контуров.

3. Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).

4. Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).

5. Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

· При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

· Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

· Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".

3 метод контурных токов

Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.
Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений).
Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 2.12, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁ а в правой (также по часовой стрелке) — контурный ток I₂₂. Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R5) течет сверху вниз ток I₁₁. — I₂₂ Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для второго контура

В уравнении (б) множитель при токе I₁₁, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через R₁₂.
Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь

где R₁₁ — полное или собственное сопротивление первого контура; R₁₂ — сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₁₁ — контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R₂₂ — полное или собственное сопротивление второго контура; R₂₁ — сопротивление смежной ветви у между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₂₂ — контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между K- и T-контурами (R_km) входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов I_kk и I_TT вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом

или в матричной форме

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.
В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.
В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R₁, R₂ рис. 2.12), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R₅ протекающий сверху вниз ток равен разности Ш₁₁ — R₂₂.
Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.
Общее решение системы n уравнений оносительно тока I_KK:

— определитель системы.
Алгебраическое дополнение Δ_km получено из определителя Δ путем вычеркивания K-го столбца и m -й строки и умножения полученного определителя на (—1)^{k + m}.
Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что R_km = R_kmk, то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали Δ_km = Δ_mk

4 метод двух узлов

Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис. 2.23 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.
Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.
Расчетные формулы этого метода получают на основе формул (2.16а) и (2.16); их также можно просто получить из более общего метода — метода узловых потенциалов (см. § 2.22).
В отличие от схемы рис. 2.21, а ток I к узлам a и b схемы рис. 2.23 не подтекает. Поэтому если в формуле (2.16а) принять I = 0, то из нее может быть найдено напряжение между двумя узлами:

После определения напряжения U_аЬ находят ток в любой (n -й) ветви по формуле .

Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем
равным нулю?2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

Рис. 4.4

где , , - проводимости ветвей.

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.
После вычисления величины потенциала?1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

5 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора — метод преобразования электрических цепей, в котором схемы, состоящие из нескольких ветвей с источниками ЭДС, приводятся к одной ветви с эквивалентным значением.

Метод эквивалентного генератора используется при расчёте сложных схем в которых одна ветвь выделяется в качестве сопротивления нагрузки и требуется исследовать и получить зависимость токов в цепи от величины сопротивления нагрузки.

В соответствии с данным методом неизменная часть схемы преобразовывается к одной ветви содержащей ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Применение метода эквивалентного генератора

ЭДС эквивалентного генератора определяется по формуле:

где: — проводимость участка цепи равная

Для определения эквивалентного сопротивления генератора применяется расчет последовательно и параллельно соединённых сопротивлений, а так же, в случае более сложных схем применяют преобразование треугольник-звезда.

После определения параметров эквивалентного генератора можно определить ток в нагрузке при любом значении сопротивления нагрузки по формуле:

Параметры и можно так же определить по исходной схеме из опытов холостого хода и короткого замыкания .

По опыту холостого хода Для определения в исходной схеме убирают сопротивление нагрузки и полученную схему рассчитывают методом узловых потенциалов. Через полученные значения потенциалов определяют

Значение обычно определяется из опыта короткого замыкания, для этого в исходной схеме сопротивление нагрузки заменяют проводом и по методу контурных токов определяют ток в проводе. После этого эквивалентное сопротивление генератора определяется по формуле:

В некоторых случаях бывает необходимо исследовать режим работы только одной ветви схемы, при этом целесообразно воспользоваться методом эквивалентного генератора. Воздействие всех источников сложной электрической цепи на исследуемую ветвь можно заменить воздействием последовательно соединенного эквивалентного генератора с ЭДС Еэкв и внутренним сопротивлением Rэкв. Эквивалентная ЭДС будет равна разности потенциалов на зажимах схемы при исключении данной ветви.

Рисунок 1.15 - Суть метода эквивалентного генератора

Эквивалентное сопротивление равно сопротивлению всей схемы при исключении из рассмотрения данной ветви и равенстве нулю всех источников тока и ЭДС. В итоге искомый ток находится следующим образом: