Функция вида f (x) называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f (x) на двучлен x – a получается
остаток, равный f (a).
Доказательство.
При делении многочлена f (x) на двучлен x – a частным будет многочлен f1 (x) степенина единицу меньшей, чем f (x),а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х ® a, получаем f (a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f (a) = 0, то многочлен f (x)
делится на (х – а) без остатка.
Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то
это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры)
Всякая целая рациональная функция f (x) имеет, по крайней мере,
один корень, на множестве комплексных чисел.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных
множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту
при xn.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то
коэффициенты одного многочлена равны соответствующим
|
|
коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki - кратность соответствующего корня.
Следствие. Любой многочлен n – ой степени имеет ровно n
комплексных корней.
! Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.
Пример. Даны два комплексных числа . Требуется
а) найти значение выражения в алгебраической форме,
б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения
Решение.
a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:
Далее производим деление двух комплексных чисел:
Получаем значение заданного выражения: 16(- i)4 = 16 i 4 =16.
б) Число представим в виде , где
Тогда .
Для нахождения воспользуемся формулой Муавра.
Если , то