Примеры решения задач нелинейной теплопроводности и их практическое применение (значение)

Рассмотрим процесс распространения тепла в металлическом цилиндре, нагреваемом с торцов. Длина цилиндра – l, площадь основания – S (рис. 3.3). В металлах всегда есть некоторое количество свободных электронов, которые и служат переносчиками тепла.

Поместим начало системы координат x, y, z в центр левого основания, ось х направим вдоль оси цилиндра. Температура в любой точке Р внутри цилиндра зависит, вообще говоря, от всех трех координат и от времени t: T (Р) = Т (x, y, z, t). В этом случае процесс называют трехмерным нестационарным. Ради простоты мы будем рассматривать одномерный случай.

Для одномерности процесса необходимо, чтобы температура стержня в начальный момент времени t = 0 не зависела от у, z, то есть Т (х, у, z, 0) = Т (х, 0) = T 0(х), а на торцах в любой момент не зависела от t: Т (0, у, z, t) = Т (0, t); Т (l, у, z, t) = Т (l, t). Еще одним условием одномерности является независимость теплофизических характеристик среды от координат у, z. Мы будем предполагать постоянство коэффициента теплопроводности х = х 0 плотности, r = r 0 удельной теплоемкости с = c 0. Предположим также, что поток тепла через боковые поверхности стержня равен нулю.

Применив закон сохранения энергии к элементу цилиндра, расположенному между поперечными сечениями с координатами х и х + D х, опуская промежуточные выкладки, мы придем к уравнению, относительно лишь одной неизвестной величины – температуры:

Это классическое уравнение теплопроводности, описывающее нестационарный процесс распространения тепла в простейшей ситуации.

Выбирая величины управляющих воздействий (например, интенсивность нагрева) в соответствии со свойствами объекта (собственными функциями), можно получить нужный режим распространения тепловых волн, что имеет большое значение для оптимального управления процессами и конструирования агрегатов в различных областях техники и технологии. Так, например, если при конструировании плазмотронов и решении задач защиты элементов агрегатов от теплового воздействия важен выбор режима, обеспечивающего локализацию тепла, то при плавке металла в электродуговой печи наоборот необходимо выбрать режимы, обеспечивающие как можно более быстрое распространение тепловых волн в толщу металлического лома. При этом одним из оптимальных может оказаться импульсный режим подачи напряжения на дугу с частотой импульсов, согласованной с инерцией передачи тепла в металлическом ломе.