Содержание задания: Найти локальные экстремумы функции двух переменных. Если функция имеет бесконечное количество экстремальных точек, локализовать и найти 3 из них [1],[2].
Теорема (необходимое условие экстремума первого порядка). Пусть функция в точке имеет локальный экстремум. Если в этой точке существуют частные производная , то все эти производные равны нулю.
Если в точке все частные производные функции равны нулю, точку называют критической или стационарной.
Теорема (условия экстремума второго порядка). Пусть функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности точки .
1. Если в точке функция имеет локальный минимум, то
(*)
и матрица частных производных второго порядка
(**)
неотрицательно определена.
Если в точке она имеет локальный максимум, то выполнены условия (*) и матрица (**) неположительно определена.
2. Если выполнены условия (*) и матрица (**) положительно определена, то в точке функция имеет локальный минимум. Если выполнены условия (*) и матрица (**) отрицательно определена, то в точке функция имеет локальный максимум.
|
|