Найти (1) при (2) и (3)
Считается что хоть одна из функций в (1),(2),(3) - нелинейная. Считая, что , , определенные на открытом множестве
Если непрерывны то Х замкнуто и совпадает с
Если по системе ограничений (2), (3) можно сказать, что множество допустимых решений выпукло и функция на этом множестве выпукла то задача минимизации имеет решение, причем каждая точка локального минимума является точкой глобального минимума функции цели.
Теорема:
Если выпуклы в то множество допустимых решений тоже является выпуклым.
Доказательство:
Если или то все катит (очевидно).
Если выпукло имеем
Если область допустимых решений определяется только ограничениями вида (3) и каждая функция выпукла в то область допустимых решений также выпукла.
В том случае если присутствуют ограничения типа (2) то доказательство выпуклости усложняется. Однако когда линейны то в этом случае пространство разбивается на подпространства с помощью гиперплоскостей.
В этом случае экстремум функции цели будет принадлежать области пересечений ограничений типа (2) и расположенных внутри выпуклой области определенной ограничениями типа (3).
|
|
Во многих случаях общую задачу нелинейного программирования можно свести к задаче с ограничениями типа равенств записав (3) в виде