Бескаолиционные игры

Введение

(Воробьев)

Планирование работы предприятия по нескольким показателям и отчетность по каждому из них отражает оценки различных сторон деятельности предприятия. Основные трудности внедрения и распространения нововведений предопределяются противоречием между сегодняшней выгодой и будущим эффектом. В этом смысле можно сказать, что любое социально-экономическое явление наделено чертами конфликта.

Обратим внимание на то, что всякая заинтересованная сторона должна обладать различными возможностями действовать, удовлетворять свои интересы. В противном случае, если у нее имеется только одна такая возможность, она перестает играть роль стороны в рассматриваемом процессе и превращается в обстоятельство, влияющее вполне определенным, однозначным образом на протекание этого процесса.

Следовательно, всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта: различие интересов участвующих в нем сторон, а также разнообразие тех действий, которые эти стороны могут осуществлять во имя достижения своих целей. Это значит, что социально-экономическое явление при его математическом моделировании должно наряду с возможными другими представлениями допускать еще и представление в виде конфликта, т.е. такое, в котором отражены следующие его компоненты:

а) заинтересованные стороны;

б) возможные действия каждой из сторон;

в) интересы сторон.

В условиях наиболее общего (и тем самым — наиболее простого) математического описания конфликта перечисленные его компоненты должны описываться при помощи наиболее общих и простых математических объектов. Такими математическими объектами являются множества.

Дадим формальное описание указанных компонент конфликта, вводя при этом принятую терминологию и обозначения.

Заинтересованные стороны будут далее называться игроками или лицами, а множество всех игроков будет обозначаться через I. Далее в этой книге мы ограничимся рассмотрением случая, когда множество I конечно. Не нарушая общности, можно принимать, что I={1,2,..., n}.

Любое возможное для игрока iÎI действие называется его стратегией; множество всех стратегий игрока i обозначим через X_i. В условиях конфликта каждый игрок iÎI выбирает некоторую свою стратегию х_iÎX, в результате чего складывается набор стратегий х = (х₁, …, х_n), называемый ситуацией. Множество всех ситуаций является, очевидно, декартовым произведением Пх_i и обозначается через х.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку iÎI в каждой ситуации хÎх приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока I в ситуации х и обозначается через H_i(х). Соответствие H_i: x ®R называется функцией выигрыша игрока i. В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком iÎI его стратегии х_iÎX_i и в получении им в сложившейся ситуации х = (х₁, …, х_n) из некоторого источника выигрыша Н_i(х). Вообще говоря, оценка игроком i ситуации х путем указания выигрыша Н_i(х) не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл (если, например, она выражается в эмоциональных, эстетических или этических категориях). В таких случаях иногда удается вместо прямых численных оценок ситуаций указывать на их сравнительную предпочтительность для отдельных игроков. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, более широкая, чем излагаемая далее теория игр с выигрышами. Однако математическая теория игр с предпочтениями, с одной стороны, сложна, а с другой — пока еще недостаточно разработана. Здесь мы рассмотрим только игры с выигрышами.

Таким образом, всякий конфликт будет нами представляться в виде системы

<I, { x_i }_iÎI, { H_i }_iÎI> (1.1)

Такая система называется бескоалиционной игрой или просто игрой. Обычно бескоалиционная игра обозначается греческой буквой Г (быть может, с некоторым индексом или пометкой), соответственно начальной букве английского слова game (игра).

1.4. В принципе можно говорить и о бескоалиционной игре Г с одним игроком (n=1). В этом случае каждая стратегия х_i единственного участника игры уже составляет ситуацию х, так что x₁ = х, и игра Г из (1.1) фактически оказывается просто функцией: H=H_l: x=x₁ ®R. Из этого обстоятельства вовсе не следует, что теория функций как раздел математики должна или может входить составной частью в теорию игр. В действительности эти области математики подходят к своим предметам с достаточно различных точек зрения.

1.5. Среди всех бескоалиционных игр естественным образом выделяется класс антагонистических игр, в которых число игроков равно двум, а значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

H₁(x₁, x₂) = -H₂(x₁, x₂).

Очевидно, запись игры в виде (1.1) применительно к антагонистической игре приобретает вид {{1, 2}, {x₁, х₂}, {H₁, -H₂}> или, исключая информацию, содержащуюся в самом факте антагонистичности игры, - вид<х₁, х₂, H₁>.

Чтобы сократить употребление индексов, множества стратегий игроков 1 и 2 антагонистической игре будут обычно обозначаться через х и у, функция выигрыша H₁ — через Н, а сама игра записывается в виде < х, у, Н>.

1.6. Бескоалиционная игра, в которой множества стратегий каждого игрока конечны, называется конечной бескоалиционной игрой (конечной игрой). Если для конечной бескоалиционной игры двух лиц ставить в соответствие стратегиям игрока 1 строки некоторой таблицы, стратегиям игрока 2 — ее столбцы, а клетки таблицы заполнять значениями функции выигрыша игрока 1, то полученная таблица называется матрицей выигрышей игрока 1. Если клетки этой же таблицы заполнить значениями функции выигрыша игрока 2, то получится матрица выигрышей игрока 2. Эта пара матриц полностью описывает конечную бескоалиционную игру двух лиц. Поэтому такие игры называются биматричными.

Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной.

2. Примеры бескаолиционных игр

2.1. Рассмотрим несколько примеров бескоалиционных игр. Целью этого рассмотрения является конкретная иллюстрация не только самого понятия бескоалиционной игры, но и вариантов тех трудностей, с которыми приходится сталкиваться при анализе таких игр.

2.2. Зачет. Пусть игрок 1 - Студент - готовится к зачету, а игрок 2 - Преподаватель - принимает его.[1] Будем считать, что у Студента две стратегии: хорошо подготовиться (X) или плохо (П), а у Преподавателя - тоже две стратегии: поставить зачет (+) и не поставить его (-). В основу оценки значений функций выигрыша игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.

		Выигрыши Студента		Выигрыши Преподавателя
		+	-		+	-
X	Хорошо	2 (оценили по заслугам)	-1 (обидно)	Хорошо	+ 0 (все нормально)	-2 (проявил несправедливость)
п	Плохо	(удалось словчить)	(получил по заслугам)	Плохо	-3 (дал себя обмануть)	-1 (Студент придет еще раз)

Этой модели более всего соответствует случай остающегося после беседы сомнения преподавателя в добросовестности студента и отсутствие реальной возможности проводить дальнейшее доскональное выяснение его знаний.

Эта игра - биматричная. В ней I ={1,2}, х₁ ={Х, П} и х₂ ={+, - }. Значения функций выигрыша игроков приведены в матрицах.

2.3. Орлянка. Игрок 1 выкладывает монету на стол, а игрок 2, не видя монеты, угадывает, какой стороной (т.е. "орлом" (О) или "решкой" (Р)) вверх она положена. В случае угадывания он получает от игрока 1 одну единицу выигрыша, а в противном случае уплачивает ему единицу.

Эта игра - антагонистическая. В ней x₁ = х₂ ={О, Р}, а Н(О, О) =Н(Р, Р) = -1 и H(О, Р) = Н(Р,О) = 1, или в матричной форме:

	О	Р
О	-1
Р		-1

2.4. Пример игры на открытом квадрате. Пусть каждый из игроков 1 и 2 выбирает число из открытого интервала (0, 1), после чего игрок 1 получает от игрока 2 сумму выбранных чисел.

В этой антагонистической игре, очевидно, х = у = (0, 1), так что множество ситуаций хХх = (0, 1)X(0, 1) является множеством пар чисел (х, у), где 0 < х, у < 1, т.е. открытым единичным квадратом. Очевидно, для этой игры Н(х,у) = х+у.

2.5. Два бандита. Игроками 1 и 2 являются преступники ("бандиты"), находящиеся в предварительном заключении по подозрению в тяжком преступлении. Прямых улик, однако, против них нет, и возможность их обвинения в значительной мере зависит от того, сознаются ли преступники сами.

Если оба они сознаются, то будут, несомненно, осуждены на длительный срок тюремного заключения, однако при этом признание учитывается как смягчающее обстоятельство (потери каждого из игроков в этом случае оценим в -8). Если они оба не сознаются, то за отсутствием улик обвинение в тяжком преступлении будет снято, но следователь сможет доказать их виновность в совершении менее значительного преступления, в результате чего оба получат некоторое наказание (потери составляют -1 для каждого). Если, наконец, сознается лишь один из преступников, то по законам той "модельной" страны, в которой происходят описываемые события, он будет выпущен на свободу (потери равны 0), а его упорствующий партнер получит полную меру возмездия (потери равны -10).

Эта игра — биматричная, В ней каждый игрок имеет по две стратегии: признаваться (П) или нет (Н). Матрицами выигрышей игроков являются:

		для игрока 1
		Призн	Нет
	Призн.	-8
и И	Нет	-10	-1

		для игрока 2
		Призн.	Нет
	Призн.	-8	-10
и И	Нет	-0	-1

2.6. Семейный спор. Два экономических партнера (игроки 1 и 2) договариваются о совместном проведении одного из двух действий, D₁ или D₂, каждое из которых требует совместного участия обоих партнеров,

В случае совместного осуществления действия D₁, игрок 1 получает одну единицу полезности, а игрок 2 — две единицы. Наоборот, в случае совместного осуществления D₂ игрок 1 получает две единицы, а игрок 2 — лишь одну. Наконец, если игроки выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них равен нулю. Таким образом, мы имеем биматричную игру с матрицей выигрышей.

		для игрока 1
		D1	D2
	D1
и И	D2

		для игрока 2
		D1	D2
	D1
и И	D2

Во многих популярных сочинениях по теории игр эту игру интерпретируют как одновременный выбор супругами совместного вечернего развлечения: посещения соревнований по боксу или же балета, причем в посещении бокса муж заинтересован в большей степени, чем жена, при посещении балета наблюдается обратная картина, а в случае непреодоленного разногласия вечер вообще оказывается испорченным. Ввиду такой интерпретации описанная игра часто называется «семейным спором».