Нехай , де носій El – клас елементарних функцій; – це операції.
Алфавіт:
Визначення операторного терму:
1. Усі символи базових функцій є операторними термами.
2. Якщо є операторними термами для завдання m-арних функцій, а є термом для задання n-арної функції, то терм є термом для позначення m-арної функції.
3. Якщо є операторним термом для бінарної функції, то терми є операторними термами для бінарних функцій.
4. Інших оператор них термів не існує.
Зрозуміло, що кожна елементарна функція є ПРФ. Доведемо зворотне твердження – що це включення строге.
Для цього розглянемо допоміжну функцію :
Функцію назвемо k -східчастою, якщо має місце умова: .
Теорема: Довільна елементарна функція є k -східчастою для певного відповідного значення k.
Доведення:
· Базові функції:
o
o так само для ;
o .
· Нехай є операторним термом для бінарної функції . Утворимо функції та (обидві вони бінарні). Нехай є -східчастою функцією. Тоді є -східчастими функціями.
o Це випливає з двох нерівностей:
|
|
§
§
o Обидві вони доводяться математичною індукцією.
· Нехай , де - -арна функція, а - -арні. Тоді є -арною функцією.
Покажемо тепер, що існує ПРФ, яка не є елементарною.
Наприклад, візьмемо функцію . Для такої функції не існує такого єдиного , для якого можна було б мажорувати цю функцію -східчастою.