Нелинейное программирование

В общем виде задача нелинейного программирования формулируется следующим образом:

(1)

где f_j, f – заданные функции от n переменных.

Обозначим: D – множество решений системы ограничений задачи нелинейного программирования (1); вектор.

Решением задачи нелинейного программирования (1) называется вектор и число f₀ такие, что

В зависимости от вида целевой функции и ограничений существуют несколько методов решения задач нелинейного программирования.

Графический метод. Алгоритм:

1) На плоскости построить область D допустимых решений системы ограничений задачи.

2) Если D = Æ, то задача не имеет решения.

3) Если D ¹ Æ, то построить линию уровня функции, где С – константа.

4) Определить направление возрастания (при максимизации) или убывания (при минимизации) функции f.

5) Найти точку области допустимых решений D, через которую проходит линия уровня с наибольшим (при максимизации), наименьшим (при минимизации) значением С или установить неограниченность функции f на области D.

6) Определить значения найденной точки и значение

Классический метод (способ сведения задачи к одной переменной):

Рассматривается задача нахождения точек экстремума функции при ограничении

Если уравнение можно разрешить относительно одной переменной, например, выразить x₂ через x₁:, то полученное выражение можно подставить в функцию f. Тогда получим, т. е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет экстремумом функции