Системою лінійних рівнянь з n невідомими х1 х2 х3…nn називають система виду:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1;
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2;
..........................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n = b m;
де х 1, х 2,..., х n - невідомі, значення яких підлягають знаходженню. Як видно зі структури системи, в загальному випадку число невідомих не обов'язково має дорівнювати числу рівнянь самої системи. Числа а 11, а 12,..., а mn називаються коефіцієнтами системи, а b 1, b 2,..., b m - її вільними членами. Для зручності коефіцієнти системи а ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) та вільні члени b i (i = 1, 2,..., m) забезпечені індексами. Перший індекс коефіцієнтів а ij відповідає номеру рівняння, а другий індекс - номеру невідомої х i, при якій коефіцієнт поставлений. Індекс вільного члена b i відповідає номеру рівняння, у яке входить b i.
Система лінійних рівнянь назив:
1) Нульовою, якщо всі коефіцієнти і вільні члени – нулі.
2) Однорідною, якщо всі члени – 0.
3) Неоднорідні, якщо існує хоча б одне з вільних членів відмінні від 0 (bi не = 0)
Розв’язком системи рівнянь назив. такий впорядкований набір чисел (альфа 1, альфа 2…) при підстановці яких замість невідомих, всі рівняння перетвор. в тотожності.
|
|
Система лінійних рівнянь назив:
- Сумісною, якщо б має хоча б 1 розв’язок;
- Не сумісною, якщо не має розв’язків;
- Означеною, якщо має рівно 1 розв’язок;
- Якщо має більш ніж 1 розв’язок.
Ефективним методом розв’язання і дослідження системи лінійних рівнянь є метод виключення невідомих – метод Гауса.
Він полягає в тому, що дана система лінійних рівнянь перетвор в рівносильну їй сис-му спец виду (трикутного), яка легко досліджується і розв’язується.
Для перетворення даної сис-ми лінійних рівнянь до спец виду, її піддають перетворенням:
- Додавання до обох частин 1 рівняння системи відповідних частин іншого рівняння тієї ж системи, помножених на деяке число.
- Перестановка місцями рівнянь у системі.
- Видалення із системи рівнянь виду 0=0.
Перетворення викон над розширеною матрицею системи так, щоб зліва була одинична матриця, тоді справа буде матриця невідомих.
Означення вектора, абсолютної величини вектора,