Предприятие может выпустить три вида продукции: A 1, A 2, A 3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос может быть в одном из четырех состояний: B 1, B 2, B 3, B 4. Дана матрица
C = (Cij)3∙4, ее элементы Cij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i- го вида продукции с j -м состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
Bj Ai | B 1 | B 2 | B 3 | B 4 |
A 1 | ||||
A 2 | ||||
A 3 |
С =>
Решение. Задача сводится к игре, в которой предприятие – это игрок A, спрос – игрок B; C – платежная матрица. У игрока A три стратегии; стратегия Ai –выпускать продукцию вида ; у игрока B четыре стратегии: стратегия Bj – спрос на продукцию вида .
Проведем анализ матрицы C, исключив стратегии заведомо невыгодные игрокам.
Стратегия B 2 (2-й столбец матрицы) является явно невыгодной для игрока B по сравнению с первой стратегией B 1, (элементы столбца 2 либо больше, либо равны элементам 1-го столбца), так как цель игрока B уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому 2-й столбец исключаем и получаем следующую таблицу, в которой найдем нижнюю α и верхнюю β – цены игры.
|
|
Bj Ai | B 1 | B 3 | B 4 | |
A 1 | α1 = 3 | |||
A 2 | α2 = 2 | |||
A 3 | α3 = 4 | |||
β 1 = 9 | β 2 = 6 | β 3 = 8 | α=4 β=6 |
α = 4
β = 6
α ≠ β – седловой точки нет.
Решение игры будем искать в смешанных стратегиях.
Стратегия игрока A:
Стратегия игрока B:
Все значения Cij > 0, поэтому записываем пару двойственных задач, эквивалентных игре.
Задача A. Задача B.
Решим задачу B симплекс-методом, приведем к стандартному виду.
Проведем решение в симплекс-таблицах.
Cj | bi | ||||||||
Ci | |||||||||
5 | 1/6 min 1/4 1/5 | ||||||||
F | -1 | -1 | -1 | ||||||
3/6 7 27/6 | 8/6 -20/6 -16/6 | 1/6 -4/6 -5/6 | 1/6 2/6 1/6 | 1/6:3/6=1/3 2/6:7=2/42 1/6:27/6=1/27min | |||||
F | -3/6 | 2/6 | 1/6 | 1/6 | |||||
44/27 22/27 -16/27 | 7/27 17/27 -5/27 | -3/27 -42/27 6/27 | 4/27 2/27 1/27 | ||||||
F | 1/27 | 2/27 | 0 | 3/27 | 5/27 |
F max
Оптимальное решение задачи B: и
A:
Или = 1/27; = 4/27; = 0; F max =5/27
= 2/27; = 0; = 3/27.
Цена игры v = .
Найдем значения xi и yj по формулам:
Оптимальные смешанные стратегии игроков записываем с учетом того, что стратегию B 2 – столбец B 2 в исходной матрице C мы исключили, что означает, что состояние спроса B 2 из рассмотрения исключается и соответствующая частота будет равна нулю.
Цена игры v = 5,4.
Ответ: предприятие должно выпустить 40% продукции A 1
и 60% – вида A 3, продукцию вида A 2 выпускать не следует. При этом спрос в 20% будет находиться в состоянии B 1 и в 80% в состоянии B 3. Максимальная прибыль предприятия 5,4.
|
|