Нормальное распределение (или закон Гаусса-Лапласа)

Де-Муавр вывел нормальный закон распределения вероятностей. В разработку этого закона внесли существенный вклад К.Гаусс и А.Лаплас. Гаусс исходил из признания наиболее значимым вероятным значением случайной величины–средней арифметической. Общее условие возникновения нормального закона распределения установил А.М.Ляпунов.

Нормальная кривая описывается следующей формулой:

У= 1 / σ√ 2π * е-(х-хср)2 /2 σ2

где –х- случайная величина; хср- средняя арифметическая или математическое ожидание; σ- среднее квадратическое отклонение

Существенными факторами, определяющими центр группировки и форму нормальной кривой, являются параметры хср и σ. Графически изображение нормальной кривой напоминает колокол.

При хср =0 и σ=1 нормальную кривую называют нормированной кривой или распределением нормальным в каноническом виде. Описывается она следующей формулой:

У =1/√ 2π * е-х2 /2

Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину признака явления действует множество случайных независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общем итоге относительно незначительную роль (отсутствуют доминирующие факторы).

Ляпунов доказал, что если изучаемый признак представляет собой результат суммарного действия многих факторов, каждый из которых мало связан с большинством остальных, и влияние каждого фактора на конечный результат намного перекрывается суммарным влиянием всех остальных факторов, то распределение становится близким к нормальному. В математической статистике нормальное распределение играет роль некоторого стандарта, с которым сравнивают другие распределения.

При построении нормальной кривой по эмпирическим данным, используют следующую формулу:

У = h*∑ni/n/ σ *1/√ 2π * е-t2 /2

где h –величина интервала

ni –сумма всех частот, равная объему совокупности

σ – среднее квадратическое отклонение

t – центрированное и нормировано отклонение, равное (х-хср) / σ

величина 1/√ 2π * е-t2 /2 табулирована и может быть определена из соответствующих математико-статистических таблиц.(прилож.2)

табулирование –нахождение значений функции и построение таблиц по аналитическому выражению, связывающему переменные х и у.

Если у = f (х), то уо = f (хо), у1= f (х1), … у i= f (хi). Обычно значения аргумента (х) следуют друг за другом через одно и то же число h -называемое шагом таблицы. Тогда х i +1i +h (i = 0,1,…) Для табулирования функций заданных аналитически, часто применяют разложение в ряды.

Пример:

Построим нормальную кривую по данным о распределении 200 деталей по весу

Вес детали,h (интервал) Число деталей - n Середина интервала.х (х-х0)/к =х1 х1*n 1)2 1)2* n (х-хср) t= (х-хср)/σ Гр.8 f (t) Гр.9 Теоретическая счастота h∑ n / f(t) Гр.10 Уточнтеоретчастота-n1  
306-311   308,5 -4 -76     -14,7 -1,5 0,1295    
311-316   313,5 -3 -102     -9,7 -0,99 0,2444    
316-321   318,5 -2 -76     -4,7 -0,48 0,3555    
321-326   323,5 -1 -33     0,3 0,03 0,3988    
326-331   328,5         5,3 0,54 0,3448    
331-336   333,5         10,3 1,05 0,2299    
336-341   338,5         15,3 1,56 0,1182    
341-346   343,5         20,3 2,07 0,0468    
346-351   348,5         25,3 2,58 0,0143    
351-356   353,5         30,3 3,10 0,0034 - -
итого   - - -212 -   - - -    
                                     

Находим среднюю по формуле: хср.= х1ср.*h +х0 . За х0 принимаем центр интервала, равный 328,5 и h= 5

В графах 3,4 проводим подготовительные расчеты и получаем:

Х ср. = -212/2500*5+328,5=323,2

Находим среднеквадратическое отклонение:

σ = √1)2* n/ Σ n*h2 – (хср0)2 = 992/200*25 – 5,32= 95,91~ 9,79

Находим t в каждой строке по формуле t=(х-хср)/σ (графа 9)и затем по приложению 2 (таблица значений функции f (t)=1/√ 2π * е-х2 /2 (плотность нормального распределения)

находим f(t). Для вычисления теоретических частот (т.е. ординат нормальной кривой, гр.10) находим множитель h∑ n / * σ =5*200/9,79~102,14 и все найденные в графе 9 величины f (t) умножаем на 102,14

Так для первого интервала получим 102,14*0,1295=13 и т.д.

Учитывая, что полученные теоретические частоты могут быть только целыми числами, округляем их и находим сумму, она равна 192. Т.о. видим несовпадение суммы теоретических частот (192) с суммой фактических частот (200). Такие расхождение бывает в тех случаях, когда крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля. В этих случаях теоретическую кривую надо продлевать. В нашем примере нормальная кривая должна быть продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, т.к. первая не уточненная частота равна 13.

Производим такой расчет теоретических частот для двух предшествующих интервалов, в которых фактические частоты равны нулю и получаем для интервалов 296-301 и 301-306 теоретические частоты, равные 2 и 6.Для наглядности строим график, на который наносим фактическое распределение в виде гистограммы и нормальную кривую.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: