Вступ в математичний аналіз

Якщо кожному значенні змінної поставлено у відповідність за певним правилом значення то говорять, що задана функція. Її позначають

Множина Х називається областю визначення функції, множина - областю значень функції.

Множина значень яка за певним правилом поставлена у відповідність натуральному ряду чисел називається числовою послідовністю.

Числа називають членами послідовності, при цьому - загальним членом.

Число називається границею послідовності , якщо для всякого як завгодно малого додатнього числа знайдеться такий номер , що для всіх виконується нерівність . Це позначають

Якщо послідовність має скінчену границю, то її називають збіжною.

Важливим прикладом числової послідовності є геометрична прогресія.

Послідовність чисел називається геометричною прогресією, якщо кожний наступний її член дорівнює попередньому помноженому на деяке стале число - знаменник прогресії:

Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції збіжна до Це записують

Основні теореми про границі функцій:

1. Границя сталої дорівнює цій сталій.

2. Границя алгебраїчної суми, добутку, частки двох функцій

дорівнює відповідно алгебраїчній сумі, добутку та частці їх границь при умові, що границя функції в знаменнику не дорівнює 0.

Випадки, коли не можна знайти границі безпосередньо за цими теоремами, це невизначеності: Для розкриття невизначеностей використовують визначні границі:

1.

2. .

В фінансових розрахунках використовують формули нагромадження капіталу за складними відсотками знайдені на основі геометричної прогресії: де - сума вкладу нагромадження через років, - початкова сума вкладу, - коефіцієнт складних відсотків при - щорічному відсотковому приросту.

Якщо відсотки нараховуються разів за рік, то

Якщо зростання за складними відсотками неперервне, то на основі другої визначної границі формула набуде вигляду