Группа. Определение и основные свойства

Впервые понятие группы было введено в математике для описания такой совокупности элементов а, b, с, d,...., которая подчиняется определенным групповым законам. Природа этих элементов может быть самой разнообразной. Это могут быть числа, перестановки, операции симметрии и др.

Основные законы теории групп можно сформулировать следующим образом:

1. Произведение двух элементов а и b группы дает третий элемент c, принадлежащий группе, т. е.

с = b a. (4.32)

Произведение здесь понимается в обобщенном смысле как комбинация или сочетание двух элементов, которое по определенным правилам дает третий элемент. Это произведение зависит от порядка элементов. Если под a и b понимать операции симметрии, то при записи b a, сначала выполняется операция a, а затем операция b. Обратное не всегда cправедливо. Иначе говоря, для элементов группы коммутативный закон не всегда выполняется, т. е.

ba ¹ ab.

2. Совокупность элементов группы содержит единичный элемент I, для которого выполняется правило

aI = Ia = a. (4.33)

Под a здесь понимается любой элемент группы. Для операций симметрии под единичным элементом будем понимать поворот системы на угол, равный нулю (С ₁) или 360°.

3. Совокупность содержит обратный элемент.Например, элементу а имеется обратный элемент а^{– 1} такой, что

a× a ^–1 = a ^–1 × a = 1. (4.34)

Для каждой операции симметрии всегда имеется обратная операция, которая уничтожает действие первой. Например, повороту системы на угол j по часовой стрелке всегда найдется обратная операция – поворот той же системы на угол – j (против часовой стрелки).

4. Для элементов группы всегда выполняется так называемый ассоциативный закон

c (ba) = (cb), (4.35)

т. е. безразлично умножается сначала a на b, а затем получаемое произведение ba умножить на c, либо умножается a на произведение b на c (т. е. cb). В силу cказанного произведение трех элементов группы можно записывать в виде cba.

Все группы разделяются на конечные и бесконечные в зависимости от того, сколько элементов они содержат. Число элементов в группе называют ее порядком h. Пример группы бесконечного порядка – это число поворотов вокруг оси связи на любой угол в двухатомной молекуле. Эта группа будет являться не только бесконечной, но и непрерывной, т. е. ее элементы (повороты) непрерывным образом зависят от угла j, который может принимать любые значения от 0 до 2p.

Важным понятием является подгруппа, под которой понимают часть элементов группы, удовлетворяющая групповым условиям.

Группы, для которых выполняется закон коммутативности, т. е. ba = ab, называются абелевыми (в честь норвежского математика Абеля). Все другие группы будут неабелевы, или некоммутативны.

Для молекул мы будем иметь дело с точечными группами симметрии, т. е. такими группами, операции симметрии которых оставляют хотя бы одну точку в пространстве неподвижной. Обычно эта точка является центром тяжести молекулы.