Московский Авиационный Институт
(Национальный Исследовательский Университет)
Отчёт по лабораторной работе
по курсу «Теория и системы автоматизированного управления»
Выполнили: Федотов В.Л.
Лабызнов К.В.
Силевич Е.А.
Группа 03-311
Принял: Заведеев А.И.
Москва, 2012 г.
Краткая теория по курсу:
Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.
Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:
Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями.
Можно выделить следующие звенья:
1. Усилительное (безинерционное).
2. Дифференцирующее.
3. Форсирующее звено 1-го порядка.
4. Форсирующее звено 2-го порядка.
5. Интегрирующее.
6. Апериодическое (инерционное).
7. Колебательное.
Усилительное звено. Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его функция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:
а) б)
Рис. 1
Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:
.
0
|
w0w
|
w0w
|
Рис. 2
Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .
Рис. 3
Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.
При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:
Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:
0
|
w0w
|
w0w
|
а) б) в)
Рис. 7
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле
При
Рис. 8
Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.
Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:
Рис. 12
Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:
Рис. 13
Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:
Рис. 14
Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид
Рис. 16
Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:
w0w
|
Tw0w
|
0
|
w0w
|
а) б) б)
Рис. 17
Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:
Рис. 18
Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
где x – демпфирование (0 £ x £ 1).
Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:
а) б)
Рис. 21
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением
Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений x имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением
Частотные характеристики колебательного звена имеют вид
0
|
w0w
|
w0w
|
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:
При k = 1
Рис. 23
Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией
где k – коэффициент передачи звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:
Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:
w0w
|
0
|
w0w
|
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:
Рис. 28
Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:
(15)
Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:
Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:
(16)
(17)
где t – время запаздывания.
В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:
Рис. 30
Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:
w0w
|
w0w
|
0
|
а) б) в)
Рис. 31