Для анализа увеличения температуры при ударном сжатии необходимо знать термическое уравнение состояния среды P2= P2(r 2,T2). Если известны параметры ударной волны P2 и r 2, то из уравнения состояния определяется температура ударного сжатия среды T4.3. Например, для совершенного газа термическое уравнение состояния имеет вид
(4.3.22)
Для двух состояний совершенного газа можно записать
(4.3.23)
где параметры с индексом 1 - это первоначальные параметры газа, а с индексом 2 - параметры после сжатия.
Для изоэнтропического сжатия совершенного газа справедливо соотношение
(4.3.24)
Тогда, учитывая (4.3.23), запишем
или, разрешив это уравнение относительно температуры, получим
(4.3.25)
Итак, при изоэнтропическом сжатии температура вдоль изоэнтропы P = P(r) растет и имеет следующую зависимость от давления:
P2 ~ T2k/(k-1).
Если газ при ударном сжатии не меняет своих термодинамических свойств, то для определения температуры в ударной волне T2 можно использовать формулу (4.3.23). Для этого подставим в уравнение (4.3.23) значение r 2/ r 1 из ударной адиабаты (4.3.13), в результате получим
(4.3.26)
На основании формул(4.3.23), (4.3.24) и (4.3.13) получим зависимость температуры и плотности:
при изоэнтропическом сжатии
(4.3.27)
при ударном сжатии
(4.3.28)
Из формулы (4.3.28) следует, что так как и , то при
Рис. 4.6.Изменение температуры при ударном и изоэнтропическом сжатии | Сравнив выражения (4.3.25) и (4.3.26), (4.3.27) и (4.3.28), можно заключить, что при ударном сжатии температура растет значительно быстрее, чем при изоэнтропическом сжатии (рис. 4.3.6). Более интенсивный рост температуры в частице, сжатой ударной волной, и объясняет существование предельной плотности при ударном сжатии: |
давление ударного сжатия P2 стремится увеличить плотность r 2, но интенсивный нагрев, который сопровождает ударное сжатие, стремится уменьшить плотность ударносжатой частицы. В результате наступает равновесие между этими противоположными процессами, которое характеризуется величиной предельной плотности r пр.