Классификация понятий

По величине объема понятия разделяются на три группы.

Понятия, в объем которых входит только один предмет, называются единичными.

Они выражаются, как правило, именами собственными или эквивалентными им выражениями, например: «Луна», «Париж», «Наполеон», «автор Илиады», «первый космонавт» и т.п.

Общими называются понятия, в объем которых входит более одного предмета, т.е. два и более. Например, «река», «гора», «планета», «дом», «собака» и т.п.

И наконец, пустыми будут понятия, в объем которых не входит ни одного реального предмета.

Вопрос №23

Дедуктивные умозаключения

В определении дедукции в логике выявляются два подхода:

1. В традиционной (не в математической) логике дедукцией называют умозаключение от знания большей степени общности i к новому знанию меньшей степени общности. Впервые теория дедукции в этом плане была обстоятельно разработана Аристотелем;

2. В современной математической логике дедукцией называется умозаключение, дающее достоверное (истинное) суждение. Четкая фиксация существенного различия классического и современного понимания дедукции особенно важна для решения методологических вопросов.

Дедуктивные умозаключения - те умозаключения, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

Вопрос №24

Слово «силлогизм» произошло от греческого syllogysmos, что означает «вывод». Очевидно, что силлогизм – это выведение следствия, заключения из определенных посылок. Силлогизм бывает простым, сложным, сокращенным и сложносокращенным.

Для того чтобы избежать возможных ошибок, при построении категорических силлогизмов следует руководствоваться правилами терминов и посылок. Правила терминов следующие.

Распределенность среднего термина (М). Означает, что средний термин, связующее звено, должен быть распределен хотя бы в одном из двух других терминов – большем или меньшем. При нарушении данного правила заключение получается ложным.

Отсутствие лишних терминов силлогизма. Означает, что категорический силлогизм должен содержать только три члена – термины S, M и Р. Каждый термин должен рассматриваться только в одном значении.

Распределенность в заключении. Для того чтобы быть распределенным в заключении, термин должен быть распределен и в посылках силлогизма.

Правила посылок.

1. Невозможность вывода из частных посылок. То есть, если обе посылки являются частными суждениями, из них невозможно сделать вывод. Например:

Некоторые машины – пикапы.

Некоторые механизмы – машины.

Из этих посылок нельзя сделать заключение.

2. Невозможность вывода из отрицательных посылок. Отрицательные посылки не дают возможности сделать вывод. Например:

Люди не птицы.

Собаки не люди.

Вывод невозможен.

3. Следующее правило гласит, что если одна из посылок силлогизма частная, то и его следствие тоже будет частным. Например:

Все боксеры – спортсмены.

Некоторые люди – боксеры.

Некоторые люди – спортсмены.

4. Существует еще одно правило, которое говорит о том, что, если только одна из посылок силлогизма является отрицательной, вывод возможен, однако также будет отрицательным. Например:

Все пылесосы – бытовая техника.

Эта техника не является бытовой.

Эта техника не пылесос.

Вопрос №25

Условно-категорическим называется умозаключение, в котором одна из посылок – условное, а другая посылка и заключение – категорические суждения.

Это умозаключение имеет два правильных модуса: утверждающий и отрицающий.

1. В утверждающем модусе (modus ponens) посылка, выраженная категорическим суждением, утверждает истинность основания условной посылки, а заключение утверждает истинность следствия; рассуждение направлено от утверждения истинности основания к утверждению истинности следствия. Напр.:

Если иск предъявлен недееспособным лицом (р), то суд оставляет иск без рассмотрения (q).

Иск предъявлен недееспособным лицом (р). Суд оставляет иск без рассмотрения (q).

Первая посылка – условное суждение, выражающее связь основания (р) и следствия (q). Вторая посылка – категорическое суждение, в котором утверждается истинность основания (р): иск предъявлен недееспособным лицом. Признав истинность основания (р), мы признаем истинность следствия (q): суд оставляет иск без рассмотрения.

Утверждающий модус дает достоверные выводы. Он имеет схему:

2. В отрицающем модусе (modus tollens) посылка, выраженная категорическим суждением, отрицает истинность следствия условной посылки, а заключение отрицает истинность основания. Рассуждение направлено от отрицания истинности следствия к отрицанию истинности основания. Напр.: Если иск предъявлен недееспособным лицом (р), то суд оставляет иск без рассмотрения (q). Суд не оставил иск без рассмотрения (? q). Неверно, что иск предъявлен недееспособным лицом (?р). Схема отрицающего модуса:

Нетрудно установить, что возможны еще две разновидности условно-категорического силлогизма: от отрицания истинности основания к отрицанию истинности следствия и от утверждения истинности следствия к утверждению истинности основания.

Однако заключение по этим модусам не будет достоверным. Таким образом, из четырех модусов условно-категорического умозаключения, исчерпывающих все возможные комбинации посылок, достоверные заключения дают два: утверждающий и отрицающий. Они выражают законы логики и называются правильными модусами условно-категорического умозаключения. Эти модусы подчиняются правилу: утверждение основания ведет к утверждению следствия и отрицание следствия – к отрицанию основания. Два других модуса достоверных заключений не дают. Они называются неправильными модусами и подчиняются правилу: отрицание основания не ведет с необходимостью к отрицанию следствия и утверждение следствия не ведет с необходимостью к утверждению основания.

Вопрос №26

Логическая равнозначность или эквивале́нция (или эквивале́нтность) — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность. Двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔.

Вопрос №27

Чисто условным называется умозаключение, обе посылки которого являются условными суждениями. Напр.:

Если изобретение создано совместным творческим трудом нескольких граждан (р), все они признаются соавторами изобретения (q). Если они признаются соавторами изобретения (r), то порядок пользования правами на изобретение, созданное в соавторстве, определяется соглашением между соавторами (r). Если изобретение создано совместным творческим трудом нескольких граждан (р), то порядок пользования правами на изобретение, созданное в соавторстве, определяется соглашением между соавторами (r).

В приведенном примере обе посылки – условные суждения, причем следствие первой посылки является основанием второй (q), из которого, в свою очередь, вытекает некоторое следствие (r). Общая часть двух посылок (q) позволяет связать основание первой (р) и следствие второй (r). Поэтому заключение также выражается в форме условного суждения.

Схема чисто условного умозаключения:

(p > q)? (q > r),

(Р > r).

Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствие основания.

Умозаключение, в котором заключение получается из двух условных посылок, относится к простым.

Однако заключение может следовать из большего числа посылок, которые образуют цепь условных суждений. Такие умозаключения называются сложными.

Вопрос №28

Фигуры и модусы силлогизма

Возможные сочетания суждений в силлогизме. В предыдущей главе мы рассмотрели условия правильности силлогизмов. Рассмотрим теперь на примерах приложение этих правил. Мы будем брать по три суждения, которые могли бы составить силлогизм. Эти суждения должны быть или A, или I, или O, или E. Причём само собой разумеется, что для образования силлогизма они могут комбинироваться самыми различными способами. Например, мы могли бы иметь сочетание суждений AAO, EAI и т.п. Но мы должны исследовать, пользуясь вышеизложенными правилами, какие из этих сочетаний или соединений дают правильные силлогизмы.

Для того чтобы решить вопрос, какие сочетания дают правильные силлогизмы, мы должны предварительно решить вопрос, какие вообще возможны сочетания. Для этого мы поступим следующим образом. Возьмём сочетания AA, AE, AI, AO 4 раза и прибавим к этим сочетаниям A, E, I, O, получим:

AAA AEA AIA AOA

AAE AEE AIE AOE

AAI AEI AII AOI

AAO AEO AIO AOO и т.д;

Действуя аналогичным способом, мы можем получить 64 возможных сочетания.

Составив полную таблицу таких сочетаний, мы рассмотрим, руководясь правилами, приведёнными в прошлой главе, какие из этих сочетаний должны быть отброшены, как не соответствующие этим правилам, и какие из этих сочетаний должны быть оставлены, как дающие правильные силлогизмы.

Берём первое сочетание AAA. Это сочетание не противоречит всем восьми правилам.

Сочетание AAE противно правилу 6, потому что в заключении находится отрицательное суждение E; а чтобы это было возможно, нужно, чтобы одна из посылок была суждением отрицательным, между тем в нашем силлогизме AAE обе посылки положительные. Следовательно, данное сочетание оказывается не возможным.

Сочетание AAO противоречит правилу 6, потому что заключение отрицательное, в то время как посылки утвердительные.

Если таким способом исследовать все 64 случая, то останется только 11 сочетаний, которые дают правильные силлогизмы. Эти сочетания следующие: AAA, AAI, AEE, AEO, AII, AOO, EAE, EAO, EIO, IAI, OAO.

Мы поставили своей задачей решение вопроса, сочетание каких суждений может давать правильные силлогизмы. Казалось бы, что указанным способом мы разрешаем тот вопрос, который нас интересует, но в действительности это не так, потому что при составлении этих сочетаний нужно принять в соображение ещё положение среднего термина в посылках. В том силлогизме, который мы до сих пор рассматривали, средний термин в большей посылке является подлежащим, а в меньшей посылке – сказуемым. Но среднему термину мы можем придавать произвольное положение: мы можем средний термин сделать сказуемым в обеих посылках, или подлежащим в обеих посылках, или, наконец, сказуемым в большей посылке и подлежащим в меньшей. Сообразно с этим мы получаем так называемые четыре фигуры силлогизма, которые и изображены на прилагаемой схеме.

Эта схема даёт возможность помнить положение среднего термина. Горизонтальные линии соединяют посылки, а наклонные и вертикальные линии соединяют средний термин в обеих посылках. Если обратить внимание на то, что наклонные и вертикальные линии, соединяющие средний термин, расположены симметрично, то легко помнить положение среднего термина.

Фигуры и модусы силлогизма. В фигуре 1 средний термин является подлежащим в большей посылке, сказуемым – в меньшей. В фигуре 2 он является сказуемым в большей посылке, сказуемым же и в меньшей посылке. В фигуре 3 он является подлежащим и в большей и в меньшей посылке, и, наконец, в фигуре 4 он является сказуемым в большей посылке и подлежащим – в меньшей.

Теперь мы возьмём 11 возможных сочетаний и предположим, что каждое сочетание изменяет положение среднего термина указанными четырьмя способами, тогда получится 44 сочетание.

Рассмотрим, какие из них возможны. Чтобы показать, как производится такого рода исследование, возьмём для примера сочетание AEE, изобразим его по первой фигуре.

A: Все M суть P.

E: Ни одно S не есть M.

E: Ни одно S не есть P.

Если мы обратим внимание на термин P, то окажется, что в большей посылке как сказуемое обще-утвердительного суждения он не распределён, между тем в заключении как сказуемое обще-отрицательного суждения он распределён. Это противоречит правилу 4, а следовательно, такое сочетание невозможно. Рассмотрим далее, какой вид может принять это сочетание по фигуре 2:

A: все M суть P

E: ни одно M не есть S

E: ни одно S не есть P

Здесь нет нарушения правил силлогизма, а потому заключение правильно. Но если это заключение мы рассмотрим по фигуре 3, то заключение будет нарушать правило 4. Силлогизм примет такой вид:

A: Все M суть P.

E: Ни одно M не есть S.

E: Ни одно S не есть P.

По фигуре 4 это сочетание будет правильно.

Если мы указанным только что способом исследуем все 44 сочетания, то получим следующие 19 правильных видов силлогизма, или модусов, распределённых по фигурам:

Всякий изучающий логику должен все эти модусы знать наизусть. Для облегчения же заучивания придумали следующее стихотворение, написанное гекзаметром:

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris;

Cesare, Camestres, Festino, Baroko, sekundae;

Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bokardo, Ferison habet;

Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Здесь каждое слово, напечатанное курсивным шрифтом, означает отдельный модус, посылки и заключение которого легко определить, если взять гласные буквы. Например, Barbara означает модус фигуры 1, в котором обе посылки и заключение суть AAA; Celarent означает модус EAE. Значение остальных букв этих слов будет изложено в следующей главе.

Если бы учащийся сам захотел по указанному выше способу определить, какие сочетания суждений дают правильные силлогизмы, то он может воспользоваться след. указаниями.

Если он, руководясь правилами гл. XIII-й, станет отбрасывать те сочетания, которые противоречат правилам, то у него должно остаться след. 12 сочетаний: AAA AAI AEE AEO AII AOO EAE EAO EIO IAI OAO. Из них последнее сочетание IEO следует также отбросить, потому что оно противоречит четвёртому правилу, именно в заключении больший термин берётся во всём объёме, как сказуемое отрицательного суждения, в то время как в большей посылке, как сказуемое или как подлежащее частно-утвердительного суждения, он взят не во всём объёме. Таким образом остаётся всего 11 сочетаний.

Если затем он проведёт остающиеся 11 сочетаний по четырём фигурам, то у него, кроме тех 19 сочетаний, которые приведены выше, останутся ещё 5 сочетаний, именно по 1-й фигуре AAI и EAO, по 2-й фигуре EAO и AEO и по 4-й фиг. AEO. Хотя эти 5 сочетаний дают правильное заключение, но их всё-таки следует отбросить, потому что они дают ослабленное или подчинённое заключение, именно они дают частное заключение, в то время как могут давать и общее. В самом деле, возьмём сочетание AAI по первой фигуре:

Все научные сведения полезны.

Химические сведения научны.

Некоторые химические сведения полезны.

Хотя это заключение правильно, но при данных посылках можно получить я общее заключение: «все химические сведения полезны». Поэтому данное сочетание следует считать практически бесполезным.

Таким образом, если мы отбросим эти 5 сочетаний, дающих ославленные заключения, то у нас останутся те 19 сочетаний, которые приведены выше.

Возьмём для иллюстрации фигур и модусов примеры.

Фигура 1.

Barbara

A: Все хищные животные питаются мясом.

A: Тигры суть хищные животные.

A: Тигры питаются мясом.

Этот силлогизм символически можно изобразить следующим образом. «Хищные животные» как средний термин обозначим при помощи M; «питающиеся мясом» как больший термин – посредством P, а «тигры» – посредством S; тогда силлогизм изобразится при помощи схемы на рис. 23.

Celarent

E: Ни одно насекомое не имеет более трёх пар ножек.

A: Пчёлы суть насекомые.

E: Пчёлы не имеют более трёх пар ножек.

Схема этого модуса изображена на рис. 24.

Darii

A: Все хищные животные питаются мясом.

I: Некоторые домашние животные суть хищные животные.

I: Некоторые домашние животные питаются мясом (рис, 25).

Ferio

E: Ни один невменяемый не наказуем.

I: Некоторые преступники невменяемы.

O: Некоторые преступники не наказуемы (рис. 26).

Фигура 2.

Cesare

E: Ни один справедливый человек не завистлив.

A: Всякий честолюбивый завистлив.

E: Ни один честолюбивый человек не есть справедлив (рис. 27).

Camestres

A: Преступники действуют из злого намерения.

E: N. не действовал из злого намерения.

E: N не есть преступник.

Festino

E: Ни один благоразумный человек не суеверен.

I: Некоторые хорошо образованные люди суеверны.

O: Некоторые хорошо образованные люди неблагоразумны.

Baroko

A: Все истинно моральные действия совершаются из правильных мотивов.

O: Некоторые действия, благодетельные для других, не совершаются из таких мотивов.

O: Некоторые благодетельные для других действия не суть истинно моральные.

Фигура 3.

Darapti

A: Все киты суть млекопитающие.

A: Все киты живут в воде.

I: Некоторые живущие в воде животные суть млекопитающие.

Данное умозаключение относится к фигуре 3, где средний термин d обеих посылках является подлежащим. Меньший термин «живущие в воде существа» взят в меньшей посылке не во всём объёме; следовательно, и в заключении должен быть взят не во всём объёме (рис. 28).

Felapton

E: Ни один глухонемой не может говорить.

A: Глухонемые суть духовно нормальные люди.

O: Некоторые духовно нормальные люди не могут говорить (рис. 29).

Disamis

I: Некоторые романы поучительны.

A: Все романы суть вымышленные рассказы.

I: Некоторые вымышленные рассказы поучительны.

Ferison

E: Ни одна несправедливая война не может быть оправдана.

I: Некоторые несправедливые войны были успешны.

O: Некоторые успешные войны не могут быть оправданы.

Фигура 4. Возьмём силлогизм:

Bramantip

A: Все металлы суть материальные вещи.

A: Все материальные вещи имеют тяжесть.

I: Некоторые тела, имеющие тяжесть, суть металлы.

В этом силлогизме средний термин взят сказуемым в большей и подлежащим в меньшей посылке. Сказуемое в меньшей посылке взято не во всём объёме, поэтому и в заключении оно должно быть взято не во всём объёме. Таким образом, получается заключение: «некоторые тела, имеющие тяжесть, суть металлы». Эта фигура называется галеновской от имени Галена (в III в. н. э.); её не было у Аристотеля.

Ещё пример для иллюстрации четвёртой фигуры.

Camenes

A: Все квадраты суть параллелограмм.

E: Ни один параллелограмм не есть треугольник.

E: Ни один треугольник не есть квадрат.

Характеристика фигур. Характеризуем в общих чертах все четыре фигуры силлогизма в отношении их познавательного значения.

Фигура 1. В ней меньшая посылка утвердительная, а большая общая (sit minor, affirmans, пёс major sit specialis). Эта фигура употребляется в тех случаях, когда нужно показать применение общих положений (аксиом, основоположений, законов природы, правовых норм и т.п.) к частным случаям; это есть фигура подчинения.

Фигура 2. В этой фигуре одна из посылок должна быть отрицательной и большая посылка должна быть общей (una negans esto, nec major sit specialis). Посредством этой фигуры отвергаются ложные дедукции, или ложные подчинения. Например, кто-нибудь утверждает относительно испытуемого газа, что он есть кислород. Нам стоит указать на какой-нибудь присущий кислороду признак, который не присущ испытуемому газу, для того чтобы убедиться в том, что это не есть кислород. Тогда у нас получится следующий силлогизм:

A: Кислород поддерживает горение

E: Этот газ не поддерживает горения.

E: Этот газ не есть кислород.

Кто-нибудь утверждает, что данное лицо больно лихорадкой; утверждая это, он производит подчинение. Нам нужно отвергнуть это подчинение. Тогда мы составляем следующий силлогизм:

A: Все больные лихорадкой испытывают жажду.

E: Этот больной не испытывает жажды.

E: Этот больной не болен лихорадкой.

Таким образом, по второй фигуре отвергаются ложные подчинения, и именно потому, что одна из посылок отрицательная. Юридические приговоры строятся по этой фигуре. Например:

A: Этот смертельный удар нанесён человеком, обладающим огромной силой.

E: Обвиняемый не есть человек, обладающий огромной силой.

E: Обвиняемый не нанёс смертельного удара.

Фигура 3. В фигуре 3 меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение должно быть частным (sit minor affirmans, conclusio sit specialis). Поэтому в фигуре 3 обыкновенно отвергается мнимая общность утвердительных и отрицательных суждений или доказывается исключение из общего положения. Положим, нам нужно доказать, что утверждение «все металлы твёрды» допускает исключение, что оно не всеобще. Тогда мы строим силлогизм по фигуре 3:

E: Ртуть не тверда.

A: Ртуть есть металл.

O: Некоторые металлы не твёрды.

Фигура 4 имеет искусственный характер и обыкновенно не употребляется.

Характер посылок и заключений каждой фигуры может быть наглядно представлен, если мы буквы модусов каждой фигуры расположим по вертикальным линиям таким образом, что буквы больших посылок будут идти по горизонтальной, буквы меньших посылок по второй горизонтальной и буквы заключений по третьей горизонтальной.

Вопрос №29

Условно-разделительные (лемматические) умозаключения

Условно-разделительное или лемматическое умозаключение – это дедуктивное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждением. Смысл леммы – необходимость выбора между несколькими решениями.

В зависимости от числа альтернатив в разделительной посылке, условно-разделительные силлогизмы делятся на дилеммы, трилеммы и полилеммы.

Если в условной посылке утверждается одно следствие из разных оснований, то лемма простая, если следствия разные – леммасложная. Если разделительная посылка является дизъюнкцией утвердительных суждений, лемма называется конструктивной, и вывод тоже утвердительный. Если разделительная посылка является дизъюнкцией отрицаний, то вывод тоже отрицательный, а лемма называется деструктивной.

Примеры:

а) Если я пойду в гости, то буду делать уроки позже;

если я пойду в кино, то сначала я сделаю уроки;

если я останусь дома, то займусь уроками.

Я пойду в гости или в кино, или останусь дома.

Я сделаю уроки.

(а ® b), (с ® b), (d ® b)

а v c v d

b

Это простая конструктивная трилемма.

б) Если власть в государстве передаётся по наследству, то

это государство – монархия; если власть в

государстве выборная, то это государство – республика.

Власть передаётся по наследству или избирается.

Государство является монархией или республикой.

(а ® b), (с ® d)

а v c

b v d

Это сложная конструктивная дилемма.

в) Если подарить ей цветы, то они быстро завянут,
если подарить конфеты, то она съест их ещё быстрее,
если подарить книгу, то она обидится, если дарить что-то ценное,
то придётся брать деньги в долг.

Я не хочу брать деньги в долг, не хочу обидеть её, не хочу,

чтобы подарок был недолговечным.

Я не стану дарить ей ни цветов, ни конфет, ни книги,
ни чего-либо ценного.

Это сложная деструктивная полилемма.

Вопрос №30

Индукция — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.

Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.

Различают полную индукцию — метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию — наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции, который позволяет осуществить полную индукцию для бесконечного счётного множества объектов.

Индуктивный метод

Различают двоякую индукцию:

Полную и неполную.