В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO¢, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO¢. При повороте нижнего диска на угол j вокруг оси OO¢ его перемещение равно h (рис. 2.3), а приращение потенциальной энергии
E п = m g h,
где m – масса нижнего диска.
Колеблющийся диск совершает вращательное движение, поэтому его кинетическая энергия равна
,
где J – момент инерции диска относительно оси OO¢, w – угловая скорость диска.
При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол j его поворота изменяется со временем по закону
|
|
,
где – амплитуда углового смещения, T – период колебаний,
а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия
,
где – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.
Отсюда момент инерции диска
. (2.6)
Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону
.
Следовательно, максимальная угловая скорость равна
. (2.7)
Высоту h, на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)
. (2.8)
Но
(2.9)
С учетом уравнений (2.9) уравнение (2.8) запишем в виде
.
При малых углах , а .
Таким образом
. (2.10)
Подставляя (2.7) и (2.10) в (2.6) получим
. (2.11)
Уравнение (2.11) можно применять не только для расчета момента инерции диска ()относительно оси OO¢, но и для расчета момента инерции диска с грузами (J). Момент инерции груза () можно найти
. (2.12)