Методом Гаусса решаются неоднородные системы уравнений AX=B.
Суть метода Гаусса:
1) систему уравнений приводят к треугольному виду;
2) определяют свободные и связанные неизвестные;
3) составляют крамеровскую систему и решают по правилу Крамера;
4) записывают общее решение системы.
Замечание. В методе Гаусса ранг матрицы определяется автоматически.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу преобразованной системы и найдем ее ранг.
, тогда
, x4 - свободная неизвестная; x1, x2, x3 – базисные неизвестные. Выразим базисные неизвестные через свободные:
Пусть x4=С, тогда 7 x2= 4+2 С, х2= 4/7+2 С /7, х1= 4 С /7-6/7.
Ответ: общее решение системы Х = .
Методом Гаусса решаются так же крамеровские системы, т.е. системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и det A ¹0. В этом случае мы сразу получаем единственное решение системы.
Пример. Решить систему линейных уравнений
.
Решение: 1) умножим первое уравнение на (-2) и прибавим его ко второму уравнению;
2) умножим первое уравнение на (-5) и прибавим его к третьему уравнению; получим систему:
.
3) Умножим второе уравнение системы на 3 и прибавим его к третьему уравнению:
.
4) Найдем последовательно x3, x2, x1.
Ответ: .