6)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение:
a) . Предел отношения многочленов и иррациональностей при равен пределу отношения старших по степени слагаемых.
b) .
с)
d)Воспользуемся обобщённой формулой второго замечательного предела:
.
7) Найти производные первого порядка для следующих функций:
a) b)
Решение:
a) .
b) Воспользуемся формулой для нахождения производной частного:
8) Дана функция . Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке x0=-2.
Решение:
- уравнение касательной.
- уравнение нормали.
;
По формуле для нахождения производной частного:
; .
Тогда уравнение касательной: ;
Уравнение нормали: .
9) Дана функция . Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение:
Вычислим производную .
Найдём критические точки:
Точка , .
Найдём .
Найдём значения функции на концах отрезка:
; .
Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в двух точках – на концах отрезка: .
Наименьшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: .
|
|
10) Даны функция , точка A(2;-1) и вектор . Требуется найти и производную в точке A по направлению вектора .
Решение:
; ; ;
Следовательно .
Найдём направляющие косинусы вектора :
; .
данная функция убывает в направлении вектора .