Общий вид системы линейных алгебраических уравнений следующий:
(2),
где а ij, i=1,...m; j=1,…n—неизвестные величины, называемые коэффициентами системы уравнений. Первый индекс означает номер уравнения, второй—номер неизвестного, при котором стоит коэффициент; bi, i=1,…m—известные величины, называемые свободными членами, или правыми частями уравнений; xj, j=1,…n—неизвестные переменные величины (или просто неизвестные).
Система (2)— система линейных уравнений, т.к. все неизвестные входят во все уравнения только в первой степени.
Матрица А, составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы.
Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов А│В, называется расширенной матрицей системы:
А= , А│В=
Систему (2) можно записать в матричном виде АХ=В, где Х= ; В= (3).
Набор чисел 1, 2,…, n — решение системы, если при подстановке x1= 1; x2= 2;…, xn= n все уравнения системы превращаются в верные тождества.
Решить систему значит найти все её решения или доказать, что не существует ни одного её решения. Если решений бесконечное множество, то указать способ нахождения каждого из них.
|
|
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, а если более одного решения, то неопределенной.
Две системы алгебраических линейных уравнений называют эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Системы n линейных уравнений c n неизвестными.
Общий вид системы уравнений (m=n):
(4).
Матрица А такой системы является квадратной: А= (5) и она имеет определитель Δ, который называется определителем системы.