11.
Ответ:
12.
Ответ:
13.
Ответ:
14. ; | 15. ; |
16. ; | 17. . |
Найти производные порядка
Если и - функции, имеющие производные порядка , то
;
- формула Лейбница.
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. .
Составить уравнения касательных и нормалей к кривым
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид
, а уравнение нормали –
в точке
Касательная
Нормаль
в точке
в точке
в точке
в точке
в точке
Найти дифференциалы функций
Если и дифференцируемые функции от
26. ; | 27. ; |
28. ; | 29. ; |
30. ; | 31. . |
Вычислить приближенно
32. ; | 33. ; |
34. ; | 35. ; |
36. при | 37. при |
38. при | 39. при |
Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя
40. ; | 41. ; |
42. ; | 43. ; |
44. ; | 45. ; |
46. ; | 47. ; |
48. ; | 49. ; |
50. ; | 51. ; |
52. ; | 53. ; |
54. ; | 55. ; |
56. ; | 57. ; |
58. ; | 59. . |
Исследование функций одной переменной
Контрольные вопросы к теме
1. Критерии монотонности функции.
2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.
3. Понятие стационарных точек функции.
|
|
4. Области выпуклости графика функции и точки перегиба.
5. План исследования функции и построение ее графика.
6. Интерполяция и аппроксимация функций.
7. Интерполяционный полином Лагранжа.
8. Формула Тейлора и формула Маклорена.
9. Понятие эмпирических функций.
Найти асимптоты кривой
Решение:
вертикальная асимптота
наклонная асимптота при
Исследовать функцию и построить график:
Пример. План исследования функции и построения ее графика рассмотрим на примере функции .
I. Область определения X = R.
Функция не является периодической.
функция четная
II. асимптота, причем,
Так как y (x)® + ¥ при x ®+¥ и y ®-¥ при x ®-¥, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных).
кроме горизонтальной асимптоты наклонных асимптот нет
III. Найти локальные экстремумы функции
;
Из уравнения находим стационарные точки при x = 1 и x = –1
IV. Найти точки перегиба функции
при , и (точки перегиба)
при - максимум; при – минимум
V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.
x | (-¥;- ) | – | (– ;1) | –1 | (–1;0) | |
y'(x) | – | – | – | + | + | |
y''(x) | – | + | + | + | ||
min | ||||||
точка пере-гиба | точка пере-гиба |
x | (0;1) | (1; ) | (;¥) | |||
y'(x) | + | + | – | – | – | |
y''(x) | – | – | – | + | ||
max | ||||||
точка пере-гиба | точка пере-гиба |
Построить графики функций:
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |