Электромагнетизм

1. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля.

где m - магнитная проницаемость однородной среды; m ₀ - магнитная постоянная. В вакууме m = 1, и магнитная индукция в вакууме

2. Закон Био-Савара-Лапласа

или

где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной c током I; - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; a - угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе провода.

3. Принцип суперпозиции магнитных полей

или

для , созданных элементом тока .

Направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым током, определяется по правилу буравчика (правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис.) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор . Вектор магнитной индукции в точке А направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Рис. 1

4. Магнитная индукция в центре кругового тока

где R - радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока

где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (вывод этой формулы в примере № 1):

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током:

где r ₀ - расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля бесконечно длинного соленоида

B = mm₀ nI,

где n - отношение числа витков соленоида N к его длине l.

5. Сила, действующая на элемент провода с током в магнитном поле (закон Ампера):

где - вектор, равный по модулю длине участка провода и совпадающий по направлению с током; a - угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

Для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода получим:

6. Магнитный момент плоского контура с током

где - единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру; S - площадь контура.

7. Механический вращающий момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

или ,

где a - угол между векторами

8. Сила Лоренца

или ,

где - скорость заряженной частицы; a - угол между векторами и .

Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то на нее действует сила

9. Магнитный поток (через поверхность S):

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BS cos a или Ф = B _n S,

где S - площадь контура; a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток) – Y = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

10. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле dA=I dФ или А=I×DФ.

11. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла): .

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле, U = Blv· sin a,

где l - длина провода; a - угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур: или , где R - сопротивление контура.

12. Индуктивность контура L = Ф / I.

Индуктивность соленоида L = mm₀ n ² lS,

где n - отношение числа витков соленоида к его длине; l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения.

13. Э.д.с. самоиндукции

14. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) - при замыкании цепи, где e -э.д.с. источника тока; t - время, прошедшее после замыкания цепи;

б) - при размыкании цепи, где I ₀ - сила тока в цепи при t = 0; t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

15. Энергия магнитного поля соленоида W =

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии поля к его объему)

w = BH /2 = B ²/(2mm₀) = mm₀ H ²/2.

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r ₀ = 30 см от его середины.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа

(1)

и принципом суперпозиции магнитных полей:

, (2)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода, магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиус-вектором ; m ₀ - магнитная постоянная; m - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае m = 1). Векторы от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:

, ,

где a есть угол между вектором и радиус-вектором . Таким образом,

. (3)

Выразим длину элемента провода dl через угол d a: dl = rd a/sina.

Запишем выражение в виде Переменная r также зависит от a (r = r ₀/sina), следовательно: . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде , где a₁ и a₂ - пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(4)

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos a₂ = -cos a₁. С учетом этого формула (4) примет вид

. (5)

Из рис.2 следует

Подставив выражение cosa₁ в формулу (5), получим

. (6)

Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.

№ 2. Два бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками в точке А. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r ₁ = 5 см, от другого на r ₂ = 12 см.

Р е ш е н и е.

Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей: = ₁+ ₂.

Модуль вектора может быть найден из теоремы косинусов

Рис. 3

, (1)

где a - угол между векторами ₁ и ₂.

Магнитные индукции ₁ и ₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r ₁ и r ₂ от проводов до точки А

В ₁ = m₀ I /(2p r ₁); B ₂ = m₀ I /(2p r ₂).

Подставляя выражения В ₁ и В ₂ в формулу (1), получаем

. (2)

Вычислим cos a по теореме косинусов (Ð a = Ð DAC как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), d² = r ₁² + r ₂² - 2 r ₁ r₂ cos a,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

= 308 мкТл.

№ 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

где d - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I в точке, определяемой радиус-вектором .

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис. 4). Вектор d направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием: , где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор d на две составляющие: перпендикулярную плоскости

кольца d _^ и параллельную d _||, т.е. .Тогда ,

Рис. 4

из соображений симметрии, а векторы от различных элементов dl сонаправлены, следовательно , где dB _^ = dB cos b и dB = (поскольку перпендикулярен , то sin a = 1). Таким образом, , где cosb = R / r (см. рис 4). Окончательно получим: .

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

Вектор направлен по оси кольца в соответствии с правилом буравчика.

№ 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом a = (2/3)p.. Определить магнитную индукцию в точке А (см. рис. 5). Расстояние d = 5 см.

Рис. 5

Рис. 5

Р е ш е н и е.

Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме индукций ₁ и ₂ магнитных полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. = ₁ + ₂.

Магнитная индукция ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, d = 0, т.к. [ d ]= 0.

Магнитную индукцию B ₁ найдем, воспользовавшись соотношением (4), из примера 1: где r ₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (см. рис. 5)

В нашем случае a ₁®0 (провод длинный), a ₂ = a = 2 p /3. Расстояние r ₀= d sin(p - a). Тогда магнитная индукция .

Так как B =B ₁ (B ₂ = 0), то .

Вектор сонаправлен с вектором ₁ и направление его определяется правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

№ 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I ₁ = 80 A и I ₂ = 60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Р е ш е н и е.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция магнитного поля, создаваемого токами I ₁ и I ₂, определяется

Рис. 6

выражением = ₁ + ₂, где ₁ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I ₁; ₂ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I ₂ (направление отмечено точкой в кружочке - перпендикулярно плоскости чертежа к нам).

Векторы ₁ и ₂, взаимно перпендикулярны, их направления находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке. Модуль можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)

В ₁ и В ₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и .

В нашем случае r ₀ = d /2. Тогда .

Произведем вычисления: .

№ 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рис.7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .

Рис. 7

В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда , где , и - индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то = 0 и тогда = + . Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В ₂ + В ₃.

Магнитную индукцию В ₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому .

Магнитную индукцию В ₃ найдем, применив соотношение (4), пример 1: .

В нашем случае r ₀ = R, a₁ = p/2 (cos a₁ = 0), a ₂ ®p (cos a₂ = -1). Тогда .

Используя найденные выражения, получим В = В ₂ + В ₃ = + ,

ли .

Произведем вычисления:

№ 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I ₁ и I ₂) текут в одном направлении. Ток I ₁ создает в месте расположения второго провода (с током I ₂) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В ₁ задается соотношением

. (1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода действует в магнитном поле сила . Так как вектор перпендикулярен вектору , то и тогда dF = I ₂ B ₁ dl. Подставив в это выражение значение В ₁, получим .

Силу F взаимодействия токов найдем интегрированием:

Учитывая, что I ₁= I ₂= I, получим

Произведем вычисления:

Рис. 8

Сила сонаправлена с силой d , а направление d определяется правилом левой руки.

№ 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции: . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщает Рис. 9

частице (протону) нормальное ускорение _n.

Согласно второму закону Ньютона,

, (1)

где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы _n и сонаправлены.). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

F _л = ma _n. (2)

В скалярной форме F _л = qvB sin a. В нашем случае и sin a = 1, тогда F _л = qvB. Так как нормальное ускорение a _n = v ²/ R, то выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = m v ²/ R. Отсюда выразим радиус окружности:

R = mv / (qB). (3)

Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = D W, или q (j ₁ - j ₂) = W ₂ - W ₁, где (j₁ - j₂) = U - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение); W ₁ и W ₂ - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W ₁» 0, и, учитывая, что W _к = mv ²/2, получим qU = mv ²/2.

Найдем из этого выражения скорость и подставим ее в формулу (3), в результате получим

(4)

Произведем вычисления:

№ 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент р _m эквивалентного кругового тока.

Р е ш е н и е.

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Движение электрона по окружности эквивалентно току, который в данном случае определяется выражением: где е - заряд электрона; Т - период его обращения.

Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2 pR)/ v. Тогда

(1)

По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

P _m = I _эквS, (2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном S = pR ². Учитывая (1), (2) и (3), получим Р _m = или

Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 8). Тогда для скорости v электрона находим . Подставив это выражение в (4) для магнитного момента P_m электрона получим

Произведем вычисления:

№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Р е ш е н и е.

Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис. скорость электрона на две составляющие: параллельную

Рис. 10 вектору индукции и перпендикулярную ему (). Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовых линий. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением

. (1)

Найдем отношение R / v _^. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a _n = v ²/ R. Согласно второму закону Ньютона F _л = ma _n или

(2)

где v _^ = v·sina. Получим соотношение R / v _^ = m / eB и подставим его в формулу (1);

(3)

Произведем вычисления:

Модуль скорости v определяем через v _|| и v _^: .

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

Параллельную составляющую скорости v _|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv _||, откуда v _|| = h / T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Произведем вычисления:

№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Р е ш е н и е.

Для того, чтобы найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: qU = mv²/2, откуда

(1)

Скорость v альфа-частицы определим из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца F _л = q направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции ; кулоновская сила F _к = qE, сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля.

Направим вектор магнитной индукции вдоль оси Оz, а вектор вдоль оси Oy (см. рис.), скорость - в положительном направлении оси Ох, тогда силы и будут направлены так, как показано на рис. 11.

Рис. 11 Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна нулю + = 0. В проекции на ось Оу получим равенство (при этом ^ и sin a = 1): qE - qvB = 0, откуда

v = E / B (2)

Подставив (2) в формулу (1), получим

Произведем вычисления:

№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции e для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 60⁰ с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Р е ш е н и е.

Мгновенное значение э.д.с. индукции e_i определяется законом Фарадея

. (1)

Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу (1), получим

. (2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по закону Ф =BS· cosj = BS· cos wt, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; j - угол между и ; w - угловая скорость вращения.

Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и, продифференцировав по

Рис. 12 времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: e_i = ωNBS· sinw t.

Учитывая, что угловая скорость вращения w катушки связана с частотой вращения n соотношением w = 2p n и что угол w t = p/2 - a (см. рис.), sin (p/2 - a) = cosa, получим e_i = 2p nNBS· cos a.

Произведем вычисления: e_i = 2×3,14×10×10³×0,04×10^-2×0,5 = 25,1 В.

№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30⁰ с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Р е ш е н и е.

При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома для полной цепи I _i = e_i/ R, где R - сопротивление рамки. Тогда .

Так как мгновенное значение силы индукционного тока I _i = dq / dt, то предыдущее выражение можно переписать в виде ,

откуда

(1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем или .

При выключенном поле Ф ₂ = 0, и последнее равенство перепишется в виде q = Ф ₁/ R. (2)

По определению магнитного потока Ф ₁ = BS· cosa. В нашем случае площадь рамки S = а ². Тогда

Ф ₁ = Ва ²cosa. (3)

Подставив (3) в (2), получим .

Произведем вычисления: .

№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол j = 90⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е.

На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис. 13)

M = p _m B sin j, (1)

где p _m = IS= Ia ² - магнитный момент контура; В - индукция магнитного поля; j - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, угол j = 0, т. е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим

Рис. 13 формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdj. Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa ²sinj d j.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол . Работа при повороте на угол j = 90⁰

(2)

Произведем вычисления: А = 100× 1 (0,1)² = 1 Дж.

Задачу можно решить другим способом.

Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IDФ = I(Ф ₁ - Ф ₂), где Ф ₁ - магнитный поток до перемещения, Ф ₂ - после. Ф ₁ = BS cos0⁰ = BS; Ф ₂ = BS cos90⁰ = 0. Следовательно, А = IBS = IBa ², что совпадает с формулой (2).

№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

Р е ш е н и е.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой:

. (1)

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости m сердечника, т.е. L = mm ₀ n ² V, где m ₀ = магнитная постоянная.

Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой: где В - индукция магнитного поля, Н - напряженность.

Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим .

Объем сердечника выразим через длину l и сечение S

Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.

Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 2×10³× 0,5 А/м = 10³ А/м.

Значению напряженности намагничивающего поля в 10³ А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).

Произведем вычисления:

№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Р е ш е н и е.

Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q = .

Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой: где I ₀ - сила тока до замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность соленоида.

Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t ®¥, I ® 0), получим:

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку.

(1)

Найдем L и R. Индуктивность соленоида

. (2)

Сопротивление обмотки соленоида

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что , получим:

4.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Напряженность магнитного поля Н = 100 А/м. Вычислить магнитную индукцию В этого поля в вакууме. (Ответ. 126 мкТл).

2. По двум длинным проводам текут в одинаковом направлении токи I ₁ = 10 A и I ₂ = 15 A. Расстояние между проводами а = 10 см. Определить напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на расстояние r ₁ = 8 см и от второго на r ₂ = 6 см. (Ответ. 44,5 А/м).

3. Решить задачу 2 при условии, что токи текут в противоположных направлениях. Точка удалена от первого провода на r ₁ = 15 см и от второго на r ₂ = 10 см. (Ответ. 17,4 А/м).

4. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а = 10 см, идет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию в центре шестиугольника. (Ответ. 138 мкТл).

5. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводнику идет ток силой I = 0,5 А. (Ответ. 6,28 мТл).

6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной l = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток силой I = 5 А, а угол j между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30 ⁰. (Ответ. 50 мН).

7. Рамка с током силой I = 5 А содержит N = 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент р _m рамки с током, если ее площадь S = 10 см². (Ответ. 0,1 Ам²).

8. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол j = 60⁰ с линиями индукции. (Ответ. 0,157 Н м).

9. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и описал дугу радиусом R = 10 см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция В = 1 Тл. (Ответ. 9,57×10⁶ м/с).

10. Определить частоту n обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. (Ответ. 2,8×10¹⁰с^-1).

11. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом R = 5 см и шагом h = 20 см. Определить скорость v электрона, если магнитная индукция В = 0,1 мТл. (Ответ. 1,04×10⁶ м/с).

12. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,138 Тл. Плоскость кольца составляет угол j= 30⁰ с линиями индукции. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо. (Ответ. 5 мВб).

13. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см, течет ток силой I =20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция В = 0,1 Тл. Поле считать однородным. (Ответ. 0,02 Дж).

14. Проводник длиной l = 1 м движется со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Определить магнитную индукцию В, если на концах проводника возникает разность потенциалов U = 0,02 В. (Ответ. 4 мТл).

15. Рамка площадью S = 50 см², содержащая N = 100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Определить максимальную э.д.с. индукции e_max, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n = 96 об/мин. (Ответ. 2,01 В).

16. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет угол j = 90⁰ с линиями индукции. Определить заряд q, который протечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см². (Ответ. 0,4 Кл).

17. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет ток силой I = 20 А. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление y, если индуктивность L = 0,4 Гн. (Ответ. 2 мВб. 8 Вб).

18. На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см² намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить индуктивность L получившегося соленоида. (Ответ. 6,28 мГн).

19. Определить силу тока в цепи через время t = 0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи r = 20 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Сила тока до размыкания цепи I ₀ = 50 А. (Ответ. 6,75 А).

20. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток силой I = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ. 10 Дж).

4.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ

1. Указать все случаи, когда напряженность магнитного поля в точке А направлена за плоскость рисунка (I ₁ = I ₂).

1. 2. 3. 4.

2. Поле создано двумя длинными параллельными проводами с токами I ₁ = I ₂ = I. Через точку А пролетает электрон. Как направлена сила, действующая на электрон?

Варианты ответа:

1) влево, 2) вправо, 3) к нам, 4) от нас

3. По контуру АВСА идет ток I = 12 А. Определить магнитную индукцию в точке А, если радиус дуги АВ = АС = 10 см, а угол a = 60⁰.

Варианты ответа: 1) 13 мкТл; 2) 6,3 мкТл; 3) 19 мкТл; 4) 25 мкТл; 5) 36 мкТл.

4. Предположим, что по длинному прямому проводу, лежащему недалеко от Вас в плоскости листа, течет ток в направлении слева направо. Между Вами и проводом в том же направлении движется электрон. Указать верную комбинацию направлений вектора магнитной индукции в месте нахождения электрона и силы, действующей на этот электрон.

Вектор магнитной индукции: Сила:

1) вниз от плоскости листа от провода

2) вверх от плоскости листа к проводу

3) вверх от плоскости листа от провода

4) вниз от плоскости листа к проводу

5) вверх от плоскости листа вдоль провода

5. Две заряженные частицы, имеющие одинаковые скорости, попадают в однородное магнитное поле так, что . Направления движения частиц вдоль траекторий (окружности одинакового радиуса) противоположны.

На какие вопросы Вы ответите «да»?

1) Совпадают ли удельные заряды частиц по величине?

2) Совпадают ли периоды их вращения?

3) Является ли частица, движущаяся по траектории I, отрицательной, а по траектории II - положительной?

4) Является ли частица, движущаяся по траектории I, положительной, а по траектории II - отрицательной?

6. В магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, вращается стержень длиной 1 м. Ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню и параллельно магнитному полю. Каково число силовых линий индукции, пересекаемых стержнем за один оборот (через площадь 1 м² перпендикулярно полю проводят число силовых линий, равное В)?

Варианты ответа:

1) 0; 2) 0,05; 3) 0,32; 4) 50; 5) 64.

7. Виток, по которому течет ток I = 20 A, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,016 Тл. Диаметр витка d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести виток за пределы поля?

Варианты ответа:

1) 25×10^-4 Дж; 2) 50×10^-2 Дж; 3) 25×10^-2 Дж; 4) 50×10^-4 Дж; 5) 12×10^-4 Дж.

8. Рамка с током расположена перпендикулярно линиям магнитной индукции. Рамку повернули относительно оси ОО' сначала на 60⁰, а затем, еще на 30⁰ по часовой стрелке. Каково отношение работы А ₁ при первом повороте к работе А ₂ при втором повороте?

Варианты ответа:

1) 1; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

9. Потокосцепление катушки Y изменяется со временем, как показано на рис. Определить э.д.с., возникшую в катушке при изменении Y по закону, соответствующему участкам 1 и 2.

Варианты ответа:

1) e ₁ = -1 В, e ₂ = 0,33 В; 2) e ₁= 1 В, e ₂ = -0,33 В;

3) e ₁ = -2 В, e ₂ = 1 В; 4) e ₁ = 2 В, e ₂ = -1 В.

4.4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

№

Номера задач

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: