Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξi (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f (x): f (ξ1), f (ξ2), f (ξ3)…, f (ξn).
Составим произведения длин ∆x1, ∆x2, …,∆xn частичных отрезков на значения функции f (ξi).
Все эти произведения сложим и выразим сумму их через
(1)
где σ= f (ξ1)∆х1+ f (ξ2) ∆х2+ f (ξ3)∆х3+…+ f (ξn)∆хn; или
Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f (x)на отрезке [a;b].
Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b] однако так, чтобы длина ∆ xiкаждого отрезка [xi-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.
Еслипри этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f (x)на отрезке[a;b].
Определение.
Если существует пределсуммы (1) при ∆хi→0, то говорят, что функция f (x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f (x) на [a;b]. ,
|
|
где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.