1. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий. М., «Наука», 1976.
2. Ашмарин И. П. Быстрые методы статистической обработки и планирования
эксперимента. ЛГУ, 1975.
3. Смирнов В. Н., Бунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей
математической статистики для технических приложений.
4. Яншин А. А. Теоретические основы конструирования, технологии и
надежности ЭВА.
Таблица 2.
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
Таблица 3
|
|
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
2,5 | 2,3 | 1,9 | 2,1 | 1,8 | 1,9 | 1,7 | 2,0 | 2,2 | 2,1 | |
2,3 | 2,1 | 1,7 | 1,5 | 2,9 | 2,5 | 1,8 | 2,4 | 1,9 | 2,2 | |
2,1 | 2,5 | 2,0 | 1,9 | 2,1 | 2,3 | 2,1 | 1,8 | 1,7 | 2,2 | |
2,8 | 2,4 | 2,3 | 1,9 | 2,2 | 2,1 | 1,6 | 1,9 | 2,0 | 2,3 | |
2,5 | 2,7 | 2,0 | 2,0 | 1,8 | 2,4 | 2,7 | 1,5 | 1,8 | 2,0 | |
2,0 | 2,2 | 2,1 | 1,7 | 1,6 | 2,0 | 2,4 | 1,9 | 2,3 | 2,5 |
.
В табл. П2 найдем аргумент функции Лапласа Z =0,24. Тогда доверительный интервал для математического ожидания получается:
[95,76; 96,52],
Ответ: генеральное среднее сопротивлений резисторов выпускаемой партии находится в интервале [92,43; 99,86] с вероятностью 0,98.
Задача 2.
Для 12 реле, случайным образом выбранных из партии, измерено напряжения срабатывания и вычислено среднее значение = 27,4 В и состоятельная оценка дисперсии Δ = 7В2. Какова вероятность того, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание напряжения срабатывания для всей партии с точностью ±4 В?
Решение.
Дисперсия генеральной совокупности неизвестна, поэтому для вычислена используем формулу (8). По условию задачи доверительный интервал для напряжения срабатывания реле находится в интервале 27,4 ±4В, т. е
.
Вычислим состоятельную и несмещенную оценку среднеквадратического отклонения, используя формулы (4) и (6):
.
Найдем коэффициент Стьюдента
.
По табл. П3 по числу степеней свободы к=n-1=11 и коэффициенту t =5.13 находим уровень значимости α=0,0005.
По уровню значимости находим доверительную вероятность р=1-а=0,9995.
Ответ: вероятность того, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание напряжения срабатывания для всей партии с точностью ±4В больше 0,9995.
|
|
Задача 3.
Определить доверительный интервал для дисперсии выходного напряжения микросхем по выборке:
2,4 1; 2,38; 2,39; 2,37; 2,43; 2,24; 2,27; 2,32; 2,36; 2,37 В.
Решение.
Найдем состоятельную и несмещенную оценку дисперсии по формуле (3),
предварительно вычислив среднее значение = 2,35.
Δ =0,016.
По числу степеней свободы К=9, и задавшись уровнем значимости α =0,05
по табл. П4 находим коэффициенты Пирсона =3,33 для верхней границы
доверительного интервала и =16,9 для нижней границы.
Находим доверительный интервал для дисперсии по формуле (10), когда математическое ожидание неизвестно:
Ответ: дисперсия выходного напряжения микросхем находится в интервале (0,01; 0,04].
Варианты заданий
Задача_1.
Погрешность прибора оценивалась путем многократного измерения эталонной величины. Результаты вычисленной абсолютной ошибки измерения занесены в табл. 1. После проверки выборки на грубые ошибки определить доверительный интервал, в котором находится математическое ожидание абсолютной погрешности прибора, распределенной по нормальному закону с дисперсией σ = 0,1. Принять доверительную вероятность Р = 0,99.
Таблица 1.
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
-0,196 | 0,138 | -0,147 | 0,007 | 0,152 | 0,017 | -0,039 | 0,065 | 0,04 | -0,227 | |
0,013 | 0,004 | -0,02 | 0,117 | -0,061 | -0,111 | 0,027 | 0,003 | -0,015 | 0,036 | |
0,114 | -0,031 | -0,11 | 0,039 | 0,065 | -0,117 | -0,18 | 0,016 | 0,141 | 0,125 | |
-0,152 | 0,143 | -0,134 | 0,005 | 0,161 | 0,013 | -0,093 | 0,056 | 0,05 | -0,272 | |
0,031 | 0,174 | -0,045 | 0,015 | 0,148 | 0,019 | -0,067 | 0,034 | -0,06 | -0,196 | |
-0,136 | 0,144 | -0,056 | 0,013 | 0,148 | -0,04 | -0,05 | -0,03 | 0,068 | -0,131 |
Задача 2.
Измерен коэффициент передачи фильтра у 10 экземпляров (табл.2). С какой вероятностью можно утверждать, что выборочное среднее оценивает математическое ожидание коэффициента передачи с точностью ±0,15. Предварительно проверить выборку на наличие ошибок.
Задача 2.
С какой вероятностью можно отвергнуть гипотезу о равенстве математических ожиданий длины деталей, изготавливаемых на разных технологических линиях, если известны результаты измерения этого параметра для выборок, взятых с каждой линии (табл. 2).
Задача 3.
Для контроля устойчивости технологического процесса производства изделий в течение смены было взято 10 выборок, каждая объемом 16 изделий. Вычислены состоятельные оценки дисперсии величины контролируемого параметра для каждой выборки (табл.3). Можно ли с доверительной вероятностью Р=0,95 утверждать, что технологический процесс устойчив.
Таблица 1.
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
Задача 2.
Для выборки объемом п =10 из партии блокинг-генераторов вычислены оценки
математического ожидания и дисперсиям =12,8 кГц, =0,11 кГц частоты импульсов. После испытания этой партии на воздействие влажности из партии
извлечена выборка объемом п = 16,для которой также вычислены оценки =12,35 кГц, =0,07 кГц. Проверить при уровне значимости α =0,05 гипотезу о равенстве математических ожиданий частоты импульсов блокинг-генераторов относительно конкурирующей гипотезы, заключающейся в том. что после испытаний частота импульсов уменьшилась,
|
|
Решение.
Конкурирующая гипотеза Н :M[X2]>M[X ]. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формуле (12):
.
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
По табл. ПЗ для уровня значимости α =0,05 и числу степеней свободы К=10+16-2=24 находим табличное значение t =2,06. t >t , таким образом, отвергается гипотеза о равенстве математических ожидании и утверждается конкурирующая гипотеза, заключающаяся в том, что частота импульсов после испытаний блокинг-генераторов уменьшилась.
Задача 3.
Для сравнения точности пяти приборов произведено 6 измерений одной и той же величины каждым прибором. С доверительной вероятностью Р= 0,99 проверить гипотезу о том, что точность приборов одинакова, если состоятельные оценки дисперсий результатов измерений равны: 0,21; 0,35; 0,38; 0,65; 0,81.
Решение.
Выбираем максимальную оценку дисперсии =0,81. Вычисляем значение критерия Кохрена по формуле (14):
.
По числу степеней свободы К=6-1=5 и количеству приборов, на которых производились измерения l=5 находим по табл. П6 значение G-критерия. G =0,588. Таким образом, G <G .
Ответ: точность пяти приборов одинакова.
Варианты заданий
Задача 1,
Известна частота генератора цифрового частотомера до ремонта и после него. Данные измерений сведены в табл. 1. Среднее квадратическое отклонение частоты равно 90 Гц. Проверить гипотезу о том, что после ремонта существенно уменьшилась частота генератора цифрового частотомера.
Таблица 2.
Варианты заданий | Результаты измерений | |||||||||
0,88 | 0,76 | 0,79 | 0,81 | 0,74 | 0,77 | 0,79 | 0,62 | 0,83 | 0,89 | |
0,24 | 0,75 | 0,83 | 0,75 | 0,65 | 0,89 | 0,76 | 0,78 | 0,86 | 0,78 | |
0,37 | 0,84 | 0,62 | 0,69 | 0,81 | 0,75 | 0,89 | 0,92 | 0,66 | 0,81 | |
0,79 | 0,85 | 0,68 | 0,8 | 0,75 | 0,81 | 0,73 | 0,82 | 0,74 | 0,75 | |
0,84 | 0,79 | 0,73 | 0,67 | 0,71 | 0,75 | 0,81 | 1,61 | 0,8 | 0,91 | |
0,98 | 0,54 | 0,63 | 0,74 | 0,88 | 0,79 | 0,89 | 0,74 | 0,61 | 0,65 |
Задача 3.
|
|
Из партии блокинг-генераторов взята выборка и измерены значения частоты выходных импульсов. Результаты измерений сведены в табл. 3. Какова вероятность того, что верхняя граница одностороннего доверительного интервала для среднего квадратического отклонения частоты не превысит 200 Гц? Предварительно проверить выборку на наличие резко отклоняющихся вариант.
Таблица 3.