По небольшому числу наблюдений

В ряде случаев достаточно знать не законы распределения, а основные числовые характеристики распределения. Если ряд строится по количественниму признаку, то такой ряд называют вариационным. Выделяют три типа вариационных рядов: ранжированный, дискретный и интервальный. Ранжирование ряда – это расположение элементов в порядке возрастания или убывания. Ранжирование позволяет легко разделить элементы ряда по группам, найти минимальное и макси-мальное значения, выделить значения, которые чаще всего повторяются. В основе дискретного ряда лежит прерывное изменение признака: один, три, четыре и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определённых значений. Если признак может в некоторых пределах принимать любые значения, то для него нужно строить интервальный вариационный ряд. Если же признак имеет непрерывное изменение, то для него необходимо строить ранжированный ряд.

Ч и с л о в ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и случайной величины называ­ются величины, с помощью которых в сжатой форме выража­ются наиболее существенные особенности распределения.

Часто к числовым характеристикам случайной величины относят: среднее арифметическое, моду, медиану, моменты, коэффициент вариации, показатели асимметрии и эксцесса.

Простое среднее арифметическое значение (среднее значение) определяется по формуле

_ n

x =(1/ n) ∑ xi (0)

Здесь N -объём выборки.

Математическое ожидание случайной величины Х это сумма произведений всех значений величины на вероятности их появления.

n

М [Х] = m_x = ∑ x_i p _i (1)

i=1

Дис­персия это математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной Х и её математическим ожиданием

σ² = D_x = (1 / n) ∑ [(Х - m_x)²]. (2)

i=1

Дисперсияхарактеризует рассеяние возможных значений случайной величины около её среднего значения.

Стандарт представляет собой среднеквадратичное отклонение случайной величины и определяется как

____

Σ = ± √ σ ² (3)

М о д о й случайной дискретной величины называется ее наи­более вероятное, наиболее часто встречающееся значение. Для непрерывной величины модой является ее значение, в котором плотность вероятности максимальна. Мода и математическое ожидание случайной величины в общем случае не совпадают. Они совпадают лишь при симметричном распределении. Распределение называется полимодальным, когда кривая имеет не один, а два или более максимумов.

Для дискретного несгруппированного вариационного ряда модальным является тот вариант (значение), который характеризуется наибольшей частотой.

Медианой случайной величины называется такое ее значе­ние, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше медианы. Иными словами, меди­ана это срединная величина упорядоченного вариационного ряда. Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

При симметричном модальном распределении медиана сов­падает с математическим ожиданием и модой. Поэтому мода и медиана имеют особо важное значение при анализе асиммет­ричных распределений.

Для вариационного ряда с объемом выборки N медиана оп­ределяется по формулам:

А) при четном числе вариантов, т. е. при N =2k,

М _е = (х _k + x_{k +1} ) / 2; так в упорядоченном ряду 2, 5, 6, 8, 11,12,13,16, где N =8, медиана будет

М _е = (8+11)/2= 9,5

В) при нечетном числе вариантов, т. е. при N =2k+ 1,

М _е = x _k+1 т.е.в ряду 2, 5, 6, 8, 11,12,13, k =3 и М _е = 8.

Кривая распределения есть графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду. Графическое представление облегчает анализ распределения частот в вариационном ряду. По результатам измерения плотности на денситометре в 2010 г. были получены следующие результаты.

Плотности окварцованных и минерализованных пород (вариант 1):

2.51, 2.55, 2.86, 2.71, 2.75, 2.53, 2.56, 2.62, 2.67, 2.72

2.77, 2.58, 2.64, 2.69, 2.74, 2.78, 2.82, 2.59, 2.62, 2.70,

2.70, 2.71, 2.76, 2.61, 2.69, 2.71, 2.77, 2.83, 2.64, 2.68,

2.72, 2.65, 2.66, 2.67, 2.73, 2.61, 2.66, 2.48, 2.68, 2.63,

2.57, 2.69, 2.79, 2.81, 2.88, 2.54, 2.72, 2.76, 2.57, 2.61,

2.73, 2.76, 2.63, 2.66,

Плотности окварцованных и минерализованных известняков (вариант 2):

2.72, 2.88, 2.96, 2.99 2.94 2.89 2.92 3.04. 3.14 2.94

2.86 3.03 2.99 2.88 3.07 3.13 2.93 2.79 3.10 3.04

2.77 2.84 3.12 3.06 2.91 3.09 2.92 3.01 3.04 2.98

2.86 3.05 2.94 3.06 2.91 2.95 2.97 3.01 3.02 2.97

3.19 2.81 2.97 3.06 2.98 2.87 3.06 3.03 2.96 2.96

3.02 3.04 3.02 3.03 3.08 2.82 3.07

Плотности минерализованных известняков (вариант 3)

2.89 2.75 2.67 2.59 2.56 2.65 2.75 2.87 2.86 2.79

2.93 2.98 2.88 2.76 2.67 2.75 2.47 2.50 2.61 2.51

2.69 2.72 2.73 2.81 2.90 2.82 2.77 2.64 2.56 2.74

2.84 3.08 2.41 2.65 2.54 2.57 2.64 3.09 2.93 2.96

2.66 2.57 2.69 2.77 2.63 2.63 2.70 2.67 2.83 2.96

3.04 3.18

Плотности окварцованных и минерализованных известняков (вариант 4)

2.66 2.71 2.75 2.81 2.85 2.93 2.97 2.88 2.81 2.73

2.71 2.86 2.94 3.05 2.83 2.77 2.74 2.77 2.83 2.84

2.78 2.76 2.84 2.84 2.93 2.97 2.92 2.96 2.76 2.72

2.68 2.72 2.77 2.82 2.87 2.79 2.79 2.84 2.83 2.81

2.86 3.02 2.66 2.57 2.69 2.77 2.63 2.63 2.70 2.67

2.83 2.96 2.81 2.85 2.89 2.63