Если после очередного начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала. Для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Пусть
i - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;
k - коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j – номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).
По прошествии n лет наращенная сумма составит
S = P (1 + i ) . (3.1)
Множитель наращения k соответственно будет равен
k = (1 + i ) . (3.2)
k = (1 + i ) (1 + n i ), (3.3)
где n = n + n ;
n - целое число лет;
n - оставшаяся дробная часть года.
На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.
При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит
S = Р (l + n i ). (3.4)
Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:
S = Р (1 + ni) . (3.5)
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:
S = Р (1 + j/m) , (3.6)
где mn - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn - целое число интервалов начисления, l - часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:
S = Р (1 + j/m) (1 + lj/m). (3.7)
В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m - к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:
S = Р (1 + j/m) . (3.8)
Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:
(1 + ) = е,
где е = 2,71828...
Из этой формулы следует:
(1 + j/m) = e .
Тогда для наращенной суммы получаем
S = P e . (3.9)
Здесь
k = e . (3.10)
P = = S a. (3.11)
Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.
Также из формулы (3.1) имеем
i = - 1. (3.12)
Из формулы (3.6):
j = m ( -1). (3.13)
Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.1), получаем
n = . (3.14)
Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:
n = (3.15)
Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.
Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.
Правило «72»:
n = .
Правило «69» (более точное):
n = + 0,35.
Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих правил используются математические формулы, дающие верный результат не ДЛЯ любых значений входящих в них величин. Например, выражение 1/ x ≤ х (х > О) неверно при х < 1.
Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях i (%). До i (%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом i . При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» - меньше.