В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.
1. Понятие вектора.
Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат.
Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.
Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.
- сумма двух векторов есть вектор
α∙ - произведение вектора на действительное число есть вектор
- существует нулевой вектор
Рис.1
В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.
В сумме двух векторов (рис.1, а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1, б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.
|
|
Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис.2):
Рис.2
2. Правые и левые системы координат.
Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.
Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 3).
При повороте оси Ox правой системы координат на 90о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy.
Рис.3 Рис.4
Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис.4).
При повороте оси Ox правой системы координат вокруг оси Oz на 900 против часовой стрелки она совпадает с осью Oy.
3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.
В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму , числа (a x, a y, a z) - это проекции вектора на оси координат (см. рис.5).
Рис.5
Длина (или модуль) вектора определяется формулой и обозначается a или | |.
Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.6).
Рис.6
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором
|
|
Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат.
4. Скалярное произведение двух векторов
Имеется два вектора и .
,
.
Рис.7
Результатом скалярного произведения двух векторов и является скалярная величина (число).
Записывается как или (, ). Скалярное произведение двух векторов равно
Свойства скалярного произведения:
5. Векторное произведение двух векторов
Имеется два вектора .
.
Рис.8
Результатом векторного произведения двух векторов является вектор . Записывается как или [ .].
Векторное произведение двух векторов это вектор , перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора к вектору был виден против часовой стрелки.
Длина (или модуль) векторного произведения равна | .
Свойства векторного произведения:
Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом:
Основные понятия статики
Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.
Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь.
Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.).
Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.
Основные понятия:
1. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.
В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН).
Сила является величиной векторной.
Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы (рис.9).
Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх - стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула - стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.
Рис.9
Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление.
Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.
Понятия «линия действия» и «направление» близки, но не тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия «модуль» и «величина» для вектора.
В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль.
Рис. 1.2. |
2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил.
3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.
|
|
4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.
Например, если системы сил, изображенных на рис. 9.1, а и рис. 9.1, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу.
Рис.9.1. Система сил:
а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил
5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешеннойили эквивалентной нулю.
6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил F1 и F2 эквивалентна одной силе R (рис. 9.1, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F 1 и F2 в свою очередь могут называться составляющими силы R.
7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.
8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.
Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.
В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.
|
|