Часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на специальный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др.
Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Поток платежей,все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
- член ренты (R) -величина каждого отдельного платежа;
- период ренты -временной интервал между двумя соседними платежами;
- срок ренты (n) - время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
- процентная ставка (i, j) -ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту;
- число платежей в году (p);
- число начислений процентов в году (m);
- моменты платежа внутри периода ренты.
Классификация рент может быть произведена по различным признакам.
1. В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на
- годовые ренты;
- р – срочные ренты.
2. По числу начислений процентов различают
-ренты с начислением один раз в году,
- ренты с начислением т раз в году;
- ренты с непрерывным начислением.
Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
3. По величине членов ренты различают
- постоянные ренты(с равными членами);
- переменные ренты.
Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
4. По вероятности выплаты членов ренты различают
- верные ренты. Они подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита;
- условные ренты. Выплата такой ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
5. По числу членов ренты различают
- ренты с конечным числом членов, или ограниченные;
- бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.
6. В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на
- немедленные ренты, срок которых начинается сразу;
- отложенные или отсроченные ренты, срок которых запаздывает.
7. В зависимости от момента выплаты платежей ренты делятся на
- обычные, или постнумерандо, где платежи осуществляются в конце каждого периода;
- пренумерандо, когда выплаты производятся в начале каждого периода. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Наращенной суммой рентыназывается сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.
1. Обычная годовая рента.
где - коэффициент наращения ренты, может быть определен по специальным таблицам (прил. 8).
Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i) раз больше постнумерандо и при р = 1:
2. Годовая рента, начисление процентов т раз в году.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле
3. Рента р -срочная, m = 1.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
4. Рента р -срочная, р = т.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
5. Рента р -срочная, р ≥1, т ≥1.
Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р ≠ т.
Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по выражению:
Под современной величиной рентыпонимают сумму всех ее членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
1. Обычная годовая рента.
где - коэффициент приведения ренты, его значения имеются в таблицах (прил. 9).
Современная величина ренты пренумерандо равна
2. Годовая рента, начисление процентов т раз в году.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле
3. Рента р -срочная, m = 1.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
4. Рента р -срочная, р = т.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
5. Рента р -срочная, р ≥1, т ≥1.
Аналогично можно получить формулу для расчета современной величины ренты в общем случае для произвольных значений р и т.
Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по выражению: