Центр тяжести плоской материальной линии

Задача 6.30. В системе отсчета, указанной на рис.1 к задаче 6.30, определить координаты плоской материальной линии, состоящей из нескольких частей. Удельный вес всех частей одинаков, размер а считать известным.

Решение. Для определения координат центра тяжести (точки С) используем метод разбиения. «Разобьем» заданную материальную линию на четыре части: 1 и 4 - четверти окружности, а 2 и 3 - отрезки прямых (рис.2). Координаты центра тяжести заданной материальной линии в указанной на рис.1 к задаче 6.30 декартовой системе координат рассчитываются по формулам:

,

,

где - длины линий 1, 2, 3, 4; и - координаты центров тяжести (С₁ и С₄) четвертей окружности; и -- координаты центров тяжести (С₂ и С₃) отрезков 2 и 3.

Центры тяжести С₁ и С₄ четвертей окружности лежат на биссектрисах прямых углов. Расстояние от центра окружности до центра тяжести четверти окружности равно

,

где а - радиус окружности, a - угол (в радианах), равный половине центрального угла, стягивающего дугу окружности, в данном случае a = p¤4.

Центры тяжести С₂ и С₃ отрезков 2 и 3 лежат в серединах этих отрезков.

Координаты центров тяжести линий 1, 2, 3, 4 равны:

; ;

; ; .

Рис.2

Определяем длины линий:

, .

Подставляя полученные выражения в расчетные формулы для координат центра тяжести линии, получаем:

.

Замечание. Решение задачи значительно упрощается при использовании метода симметрии. Очевидно, что общий центр тяжести линий 1 и 4 лежит в точке О, а общий центр тяжести отрезков 2 и 3 лежит в точке С₂₃, находящейся в середине отрезка С₂С₃ (проекция точки С₂₃ на ось х отстоит от начала координат на расстоянии ). При этом расчетные формулы упрощаются:

.