Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат

Класс

Решения олимпиадных заданий

1. Расставьте «+» или «-» в записи так, чтобы получилось верное равенство:

Ответ: +1- 2+4+8-16- 32+64=27

2. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха – уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?

Решение. Увеличение на 10% означает умножение на 1,1. Уменьшение на 10% - умножение на 0,9. Разложив 8019 на множители 8019=3∙3∙3∙3∙3∙3∙11=9∙9∙9∙11. Поэтому после трёх промахов и одного попадания у него окажется 80 рублей и 19 копеек.

А) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру

Б) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, разность которых делится на 10

Решение

а) цифр 10, а чисел -11, поэтому найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру;

б) найдутся два числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру, тогда их разность будет делиться на 10.

Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат.

Указание. Обратим внимание, что каждая из указанных фигур состоит из 16=4·4 клеток, значит, квадрат получится размера 4×4. Дальше надо постараться «увидеть» часть этого квадрата на рисунке и часть фигуры, которую надо отрезать и передвинуть.

Если правильно «разрезана» одна (любая) фигура – 3 балла;

Если правильно «разрезаны» две (любые) фигуры – 5 баллов;

Если правильно «разрезаны» все три фигуры – 7 баллов.