Кіріспе

Астана

Механика – материалдық денелердің қозғалысын және олардың өзара әсерлесуін зерттейтін ғылым. Механикалық қозғалыс деп уақыт өзгеруіне сай денелердің кеңістіктегі орын ауыстыруын айтады. Денелердің өзара механикалық әсерлесуінің өлшеуіші ретінде алынатын шаманы күш дейді.

Теориялық механикада қарастырылатын заңдар, теоремалар, қағидалар механикалық қозғалыстың жалпы заңдылықтарын қамтиды. Себебі оларды дәлелдегенде денелердің тек негізгі механикалық қасиеттері қарастырылады. Теориялық механикада алынған заңдар мен қағидалар деформацияланатын денелердің механикасында (серпімділік теориясы, пластикалық теориясы, ағымдылық теориясы, қирау теориясы, гидромеханика, газдар динамикасы) қолданылады. Сондықтан, теориялық механика жалпы механиканың, сондай-ақ көптеген инженерлік пәндердің негізін құрайды.

Теориялық механика үш бөлімнен тұрады: статика, кинематика, динамика.

Статика тыныштықта болу, бір орында тұру, қозғалмау деген ұғымды білдіретін гректің «Status» сөзінен алынған. Статика – күштер мен күштер жиынтығын қарапайым түрге келтіретін теориялық механиканың бөлімі. Сондай-ақ статикада күштер жүйесінің әсеріндегі материалдық денелердің тепе теңдік шарттары алынады. Бұдан былай материалдық дененің тепе теңдігі деп оның тыныштық күйін айтатын боламыз.

Кинематика қозғалыста болу деген ұғымды білдіретін гректің «kinema» сөзінен шыққан. Кинематика материалдық дене қозғалысын геометриялық тұрғыдан зерттейді. Сондықтан кинематиканы кейде уақыт ұғымы бар қозғалыс геометриясы деп те атайды. Кинематикалық сипаттамаларға траектория, жүріп өткен жол, қозғалыстың жылдамдығы мен үдеуі жатады.

Динамика сөзі күш деген ұғымды білдіретін гректің «dinamicos» сөзінен шыққан. Динамика күш әсеріндегі материалдық денелердің қозғалысын зерттейді. Динамикада материалдық денелерге түсірілген күштер тепе теңдікте болмайды. Мәселе әсер етуші күштер мен дене қозғалысының арасындағы байланысты зерттеуде, қозғалыстың жалпы заңдарын орнатуда.

Бұл мәселені шешу үшін барлық материалдық денелерді ойша көлемін ескермеуге болатын материялық нүктелерге бөлшектейміз. Яғни, барлық денелерді материялық нүктелердің жиынтығы мен жүйесі деп қарастырамыз. Алдымен жеке бір материялық нүкте қозғалысының заңдарын зерттейміз. Одан кейін алынған нәтижелерді бірнеше материялық нүктеге немесе механикалық жүйеге қолданамыз. Осы жолмен кез келген материалдық дене қозғалысының жалпы заңдарына келеміз.

Динамика екі бөлімнен тұрады: материялық нүкте динамикасы және механикалық жүйе динамикасы. Механикалық жүйе динамикасында материалдық денелер қозғалысының жалпы заңдары алынады. Материялық нүкте динамикасын механикалық жүйе динамикасына кіріспе ретінде қарастыруға болады, алайда оны жеке де қарастыруға болады.

1 СТАТИКА

1.1 СТАТИКАНЫҢ МӘСЕЛЕЛЕРІ МЕН НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ

Статика – денеге түсірілген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіретін және олардың тепе-теңдік шарттарын тағайындайтын теориялық механиканың бөлімі.

1.1.1 Күш және күштер жүйесі

Күш ұғымы статиканың негізгі ұғымдарының бірі. Механикада қарастырылатын шамалар скалярлық және векторлық шамалар болып бөлінеді. Скалярлық шамалар деп тек сандық мәнімен ғана толық сипатталатын шамаларды айтамыз. Векторлық шамалар деп сандық мәнімен қатар бағытымен де сипатталатын шамаларды айтамыз.

Денелердің өзара әсерлесуінің өлшеуішін сипаттайтын шама күш деп аталады. Күш – векторлық шама. Күштің денеге әсері а) күштің сандық мәнімен (модулімен), ә) күштің бағытымен, б) күштің түсу нүктесімен анықталады. Күш алынған масштабта ұзындығы күштің шамасын анықтайтын векторымен бейнеленеді, вектордың басы күштің түсу нүктесімен дәл келеді (А нүктесі), вектордың бағыты күш бағытын анықтайды. Бойымен күш векторы бағытталған KL түзуі күштің әсер ету сызығы деп аталады (1.1 а) сурет).

Күшті аналитикалық түрде оның координата өстеріне проекциялары арқылы анықтауға болады (1.1 ә) сурет). Бұл жағдайда күш шамасы мына өрнекпен анықталады:

, (1.1.1)

ал күш бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:

. (1.1.2)

Бір денеге әсер ететін () күштер жиынтығы күштер жүйесі деп аталады. Егер дененің күйін өзгертпей оған әсер ететін () күштер жүйесін басқа бір () күштер жүйесімен алмастыруға болатын болса, мұндай екі жүйе пара-пар жүйелер деп аталады:

()∾().

Егер дененің күйін өзгертпей оған әсер ететін () күштер жүйесін бір күшпен алмастыруға болатын болса, онда бұл күш тең әсерлі күш деп аталады:

()∾ .

Егер дене күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болса, мұндай жүйе теңестірілген немесе нөлге пара-пар жүйе деп аталады:

() ∾ 0.

1.1.2 Статиканың аксиомалары

1 – аксиома (екі күштің тепе-теңдігі туралы аксиома). Екі күш әсер ететін қатты дене тепе-теңдікте болу үшін олардың модульдері тең болып, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті (1.2 сурет). Демек,

.

2 – аксиома. Қатты денеге әсер ететін кез келген күштер жүйесіне нөлге пара-пар күштер жүйесін қосқаннан немесе алып тастағаннан алғашқы күштер жүйесінің әсері өзгермейді.

1 және 2 аксиомалардың салдары. Күшті өзінің әсер ету сызығының бойымен кез келген нүктеге көшіруге болады, одан күштің денеге әсері өзгермейді.

3 – аксиома (күштер параллелограмы туралы аксиома). Қатты дененің бір нүктесіне түскен екі күшті осы күштердің геометриялық қосындысына тең және сол нүктеге түскен тең әсерлі күшпен алмастыруға болады. Тең әсерлі күш аталған күштерден тұрғызылған параллелограмм диагоналімен анықталады (1.3 сурет):

.

Тең әсерлі күштің модулі:

.

4 – аксиома. Екі дене бір-біріне әрқашан сан мәндері тең, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді (1.4 сурет).

.

5 – аксиома (қатаю аксиомасы). Күштер жүйесі әсер ететін кез келген деформацияланатын денені тепе-теңдіктегі абсолют қатты дене ретінде қарастыруға болады.

1.1.3 Байланыстар және олардың реакциялары

Қозғалыс еркіндігі басқа денелермен шектелмеген дене еркін дене деп, ал шектелген дене еркін емес дене деп аталады. Берілген дененің қозғалысын шектеп, онымен жанасатын дене байланыс деп аталады. Берілген дене байланысқа бір күшпен әсер етеді. Бұл күшті қысым күші деп атайды. Байланыс та берілген денеге бір күшпен әсер етіп, оның қозғалысын шектейді. Бұл күш байланыс күші (реакция күші) немесе байланыс реакциясы деп аталады. Төртінші аксиомаға сәйкес қысым күші мен реакция күшінің шамалары тең және бір түзудің бойымен қарама қарсы бағытталады. Реакция күштерінің мәндері денеге әсер ететін актив (белгілі) күштерге тәуелді және белгісіз болады. Реакция күштері дененің мүмкін қозғалысына қарсы бағытталады. Байланыс дене қозғалысын бірнеше бағытта шектейтін жағдайда реакция күшінің бағыты белгісіз болады. Кейбір байланыстардың реакция күштерінің бағыттарын актив күштерге тәуелсіз көрсетуге болады. Осындай байланыстарды қарастырайық.

1. Қозғалмайтын жылтыр бет (жазықтық). Үйкелісін елемеуге болатын бетті жылтыр бет дейміз. Егер дене жылтыр беттің үстінде жатса,мұндай байланыстың реакциясы жанасу нүктесіне түсіп, жанасушы беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады ( – нормаль реакция, 1.5 сурет).

2. Созылмайтын иілгіш байланыс (жіп, арқан, сым арқан, шынжыр және т.б.). Реакциясы байланыстың бойымен оның іліну нүктесіне қарай бағытталады ( – керілу күші, 1.6 сурет).

3. Салмақсыз жіңішке сырық. Оның реакциясы сырықтың денемен бекітілу нүктесіне түседі де, егер сырық түзу сызықты болса оның бойымен, ал егер ол қисық сызықты болса оның басы мен ұшын қосатын түзудің бойымен бағытталады. Сырықтың өзі сығылуы немесе созылуы мүмкін ( – АВ сырығының реакциясы, 1.7 а) суреттегі сырық сығылады, 1.7 ә) суреттегі сырық созылады).

4. Жылжымайтын цилиндрлік топса (тірек) – мұндай байланыс қатты денеге топса өсіне перпендикуляр жазықтықта айналуға мүмкіндік береді. Бірақ бекітулі нүкте топса өсіне перпендикуляр жазықтықта қозғала алмайды, сондықтан реакция күші осы жазықтықта жатады және әсер ететін актив күштердің әсерінен кез келген бағытта болуы мүмкін. Демек байланыс реакциясы x және y өстерімен бағытталған екі құраушыға жіктеледі.

1.8 суретте және күштері әсер ететін, А ұшы топсалы тірекпен бекітілген, ал В ұшы жылтыр бетке сүйенген арқалық келтірілген. Жылжымайтын топсаның реакциясы және екі құраушыға жіктеледі, ал жылтыр беттің реакциясы бетке нормаль бойымен бағытталады.

5. Жылжымалы цилиндрлік топса (тірек) – реакциясы топса өсіне перпендикуляр жазықтықта жатады және тірек жазықтығына перпендикуляр бағытталады. ( – жылжымалы топсаның реакциясы, 1.9 сурет).

6. Сфералық топса. Мұндай топса дененің бір нүктесін қозғалтпайды, бірақ дене сол нүктені айнала алады. Сфералық топсаның(1.10 а) сурет) реакциясы кеңістікте кез келген бағытта болуы мүмкін, сондықтан ол x, y және z өстерімен бағытталған үш құраушыға жіктеледі ( – сфералық топса реакцияларының құраушылары, 1.10 ә) және б) суреттер).

Есеп шығарған кезде келесі аксиоманы қолданады.

6 аксиома (байланыстардан арылу аксиомасы). Кез келген еркін емес денені еркін дене деп қарастыруға болады. Ол үшін дене қозғалысын шектейтін байланыстарды ойша алып тастап, олардың әсерін реакция күштерімен алмастыру керек.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Теориялық механика пәні нені зерттейді.

2. Күштің, күштер жүйесінің, пара-пар жүйелердің, тең әсерлі күштің, теңестірілген күштер жүйесінің ұғымы.

3. Статиканың аксиомалары.

4. Байланыс пен байланыс реакциясының анықтамасы.

5. Байланыстардың негізгі түрлері және олардың реакциялары.

1.2 ЖИНАҚТАЛАТЫН КҮШТЕР ЖҮЙЕСІ

Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштерді жинақталатын күштер дейміз (1.11 а) сурет).

1.2.1 Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші

Абсолют қатты денеге әсер ететін күш жылжымалы вектор болғандықтан, жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түсірілген күштер жүйесіне пара-пар

(1.11 ә) суреттегі О нүктесі).

Теорема. Жинақталатын күштер жүйесін осы күштердің геометриялық қосындысына тең және олардың әсер ету сызықтарының қиылысу нүктесіне түсірілген тең әсерлі күшпен алмастыруға болады.

Дәлелдеу. Әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын жинақталатын күштер жүйесін (1.11 а) сурет) қарастырайық.

Статиканың 1 және 2 аксиомаларының салдарына сүйеніп барлық күштерді олардың әсер ету сызықтарының бойымен О нүктесіне көшіреміз (1.11 ә) сурет). Статиканың 3 аксиомасына сүйеніп және күштерін олардың тең әсерлі күшімен алмастырамыз: .

Алынған күші мен күшін тең әсерлі күшімен алмастырамыз:

.

Осылай барлық күштерді қоссақ, берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші болатын бір күш аламыз (1.11 б) сурет). Бұл күштің векторы былай жазылады:

. (1.2.1)

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін күштер көпбұрышын тұрғызу арқылы да анықтауға болады. Түсінікті болу үшін сурет жазықтығында жатқан төрт күш үшін көпбұрыш тұрғызайық (1.12 а) сурет).

күшін масштабпен О нүктесіне күшіне параллель етіп көшіріп, деп белгілейміз. Осы күштің ұшынан күшіне параллель етіп деп белгіленген күшті көшіреміз. Дәл осылай етіп және күштерін көшіреміз.

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлісі болатын күші осы күштердің геометриялық қосындысына тең күш ретінде қосылғыш күштердің біріншісінің басын соңғы күштің ұшымен қосатын вектор болады (1.12 ә) сурет).

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аналитикалық түрде анықтауға болады. Ол үшін геометрияның келесі теоремасына сүйенеміз: күштердің векторлық қосындысының қалаған өске проекциясы қосылғыш күштердің осы өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең.

Осыған сәйкес, жинақталатын күштер жүйесін құратын күштердің декарттық координата өстеріне проекцияларын біле отырып тең әсерлі күштің осы өстерге проекцияларын анықтауға болады:

. (1.2.2)

Сонда тең әсерлі күштің модулі мынандай болады:

. (1.2.3)

Оның бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:

. (1.2.4)

Бір жазықтықта орналасқан күштер үшін:

(1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

1.2.2 Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Теорема. Қатты денеге түсірілген жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның тең әсерлі күшінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Күштердің тепе-теңдік шарттарын геометриялық немесе аналитикалық түрде келтіруге болады.

1. Тепе-теңдіктің геометриялық шарты. Күштер жүйесінің бас векторы осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйықтаушы қабырғасы болғандықтан (1.12 ә) суретті қараңыз), нөлге тең болу үшін көпбұрыштағы соңғы күштің ұшы бірінші күштің басымен дәл келуі керек, яғни көпбұрыш тұйық болу керек.

Демек, жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйық болуы қажет және жеткілікті.

2. Тепе-теңдіктің аналитикалық шарттары. Жүйенің бас векторының аналитикалық модулі (1.2.3) өрнегімен анықталады:

.

нөлге тең болу үшін бір мезгілде болуы керек, яғни осы күштердің координата өстеріне проекцияларының қосындысы нөлге тең. Сондықтан, кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесінің қажет және жеткілікті тепе-теңдік шарттары былай жазылады:

(1.2.8)

(1.2.8) теңдеулері тепе-теңдік шарттарының аналитикалық түрін береді: кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштердің координата өстерінің үшеуінің әрқайсысына проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Қатты денеге әсер ететін жазықтықтағы жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін күштердің координата өстерінің екеуіне проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

(1.2.9)

1.2.3 Үш күш туралы теорема

Теорема. Егер өзара параллель емес үш күш әсер ететін дене тепе-теңдікте болса, онда күштердің үшеуі де бір жазықтықта жатады және олардың әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Жинақталатын күштер жүйесінің анықтамасы.

2. Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін анықтау.

3. Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары.

4. Өзара параллель емес үш күш туралы теорема.