Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке .
Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак, и – стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; ; .
Сравнивая значения, получаем: , .
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения в интервале .
Решение. , причем производная не существует при и . Эти точки являются критическими. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: , т.е. . Итак, - стационарная точка. При этом и , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранных точках:
, .
Находим предельные значения функции на границах интервала:
;
.
Эти значения в точках и функция не достигает, поскольку эти точки не принадлежат интервалу .
Сравнивая , , и , получаем не существует, .
При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.
|
|
Пусть функция определена на открытом числовом интервале и имеет на нем единственную стационарную точку . Если – точка локального максимума, то ; если - точка локального минимума, то
Пример 3. Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг радиуса .
Решение. Пусть и , тогда , – острый угол. Из теоремы синусов имеем
, а
.
.
– стационарная точка функции .
– точка локального максимума, так как функция непрерывна на и имеет единственную точку локального максимума, то в этой точке обязательно достигается наибольшее значение функции на этом интервале. Найдем (кв.ед.)