Параметры вариационных рядов

Основными характеристиками вариационных рядов являются: средняя арифметическая среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое, отклонение, коэффициент вариации, мода и медиана.

Самым характерным и существенным параметром вариационного ряда является средняя арифметическая величина. Она показывает средний уровень всех измерений для данной группы чисел.

Существует понятие простой средней арифметической (или невзвешенная средняя). Она представляет собой частное от деления суммы всех вариантов х_i на объем совокупности n:

(1)

Взвешенная средняя представляет собой величину, учитывающую частоты (веса) вариантов. Она вычисляется следующим образом:

1. Каждый вариант (х_i) надо умножить на свою частоту (n_i), т. е - (х_in_i).

2. Полученные произведения (х_in_i) необходимо сложить от первого до последнего показания, т. е.

3. Найденную сумму следует разделить на объем совокупности, т. е. -

Обозначим среднюю арифметическую как Х. Тогда формула взвешенной средней выглядит так:

Другими словами, формула символически указывает на последовательность математических операций.

В рассмотренном ранее примере 2 нахождение средней арифметической производим, достраивая еще один столбец у вариационного ряда (табл. 5).

= = 81,24 с ≈81 с

Как видно из примера, в третьем столбце записывают произведение каждого варианта на его частоту, а внизу — сумму всех произведений. Сама средняя арифметическая находится вне таблицы.

Следует обратить внимание на то, что средняя арифметическая получается чаще всего дробным числом и ее нужно округлять. Степень округления (до целого, до десятой, до сотой и т. д.) зависит от точности измерений. Желательно, чтобы средняя арифметическая, имеющая одинаковую размерность с вариантами, имела бы ту же точность. Поэтому в приведенном выше примере полученную среднюю х=81,24 с округляли до (х=81 с) целого числа, какими и выражены варианты.

Таблица 5 Таблица 6

xi	ni	xini		xi	ni	xini
	п=34				п=12

В 3-м примере средняя арифметическая находится так (табл. 6):

= = 93,1 с ≈93 очка

В 4-м примере средняя арифметическая находится так (табл. 7):

Таблица 7

xi	ni	xini
	n=2б

= = 6,5 с ≈6 бросков

Средняя арифметическая, являясь основной характеристикой вариационного ряда, не может отразить все его особенности и, в частности, тот факт, что реальные варианты по-разному сравнимы со средним уровнем. Вследствие этого введены и другие параметры вариационного ряда, называемые показателями вариации, которые характеризуют рассеивание вариантов по отношению к средней арифметической. Такой характеристикой является среднее линейное отклонение d. Нахождение его приведем на примере 2, продолжая таблицу вариационного ряда (табл. 8);

Таблица 8

xi	ni	xini	хi-	|xi – |	|xi – | ni
			—7
			—3
			+3
			+4
			^9
	n=34

=

d =

Из примера видно, что в четвертом столбце от каждого варианта х_i следует отнять найденную среднюю арифметическую х=81 с. Так, 74—81 =(—7); 78—81=(—3); 81—81=0 и т. д. В этом столбце каждое число покажет, как каждый реальный вариант отклоняется от значения средней арифметической. Так, время 74 с, за которое восстанавливается пульс у первого спортсмена (х₁), на 7 с меньше, чем среднее показание для всей группы, у второго спортсмена (х₂=78 с) — на 3 с меньше. Последнее показание х_п==90 с на 9 с превышает среднее значение и т. д.

Зная отклонение от средней каждого варианта (х_i — ), уместно было бы выяснить, как в среднем все измерения отклоняются от среднего значения. Для этого нужно было бы найти среднюю арифметическую всех вариаций. Способ нахождения средней для вариаций тот же, что и для средней арифметической всех вариантов.

Однако, при этом сложение привело бы к получению незначительной суммы (в идеальном случае — равной 0), так как положительные числа следовало бы складывать с отрицательными. Чтобы избежать этого, величины (х_i— ) необходимо брать без учета знака | х_i - | n_i. Таким образом, искомая средняя должна быть найдена так:

1. Каждое значение вариации без учета знака |х_i- | умножить на ее частоту (n _i) |x_i— | n_i

2. Полученные произведения сложить

3. Найденную сумму разделить на объем совокупности

Таким образом формула среднего линейного отклонения будет выглядеть так:

d =

В результате, в вышеприведенном примере, среднее линейное отклонение d=2,9 с. Это означает, что для Данной группы спортсменов среднее значение восстановления пульса есть х=81 с, а среднее отклонение от него, в сторону уменьшения и увеличения, составляет 2,9 с. Часто это записывают так: серия измерений характеризуется как (81±2,9) с. Отклонение от 81 с более чем на 2,9 с означало бы, что измерено время восстановления пульса у спортсмена, резко выделяющегося от спортсменов данной группы, нехарактерного для нее.

Среднее линейное отклонение в примере 3 также найдем в форме таблицы (табл. 9):

xi	ni	xini	х-х	|x –x |	|x –x |
			-2 -1 +1 +2 +3
	n=12

=

d =

Эта группа может быть охарактеризована как 93±1,5 очка, т. е. для нее является нормальным отклоне­ние от среднего значения на 3,5 очка, как в большую, так и в меньшую сторону.

Пример 4 сами

При нахождении среднего линейного отклонения мы допустили некоторую неточность: опустили знак вариации. Чтобы избежать этого, существует другой путь нахождения рассеивания вокруг средней арифметической, а именно: определение дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Известно, что любое число, возведенное в квадрат, дает положительный результат. Таким образом, вариа­ции, полученные с разными знаками, следует возвести в квадрат, избавившись от разнобоя в знаках: (х_i – )². Теперь для этих квадратных выражений найдем среднюю арифметическую. Она будет выражать рассеивание реальных вариантов вокруг их средней. Среднюю находим по тому же правилу:

1) вариации в квадрате (х_i— х)² умножаем на их частоты n_i: (х_i – )²n_i

2) полученные произведения складываем

3) найденную сумму делим на объем совокупности

Полученное таким образом число называется дисперсией σ² (сигма в квадрате). Оно указывает на рассеивание вариантов вокруг средней (в квадрате) и вычисляется по формуле:

σ² = (4)

Поскольку сама дисперсия и ее размерность представ­ляют собой числа в квадрате, затруднительна дальнейшая работа. Для того чтобы облегчить ее, нужно извлечь корень квадратный из дисперсии. Эта величина называется средним квадратическим отклонением σ (сигма):

σ = (6)

Физический смысл среднего квадратического отклонения совершенно тот же, что и среднего линейного отклонения. Значения же их различны, так как получены разными путями. Для числового нахождения дисперсии и среднего квадратического всегда пользуются таблицами. В примере 2 (табл. 11)

Таблица 11

xi	ni	xini	хi-х	(xi –x)	(xi –x) ni
			—7
			+3
			+9
	п-=34

=

σ² =

σ = =3,6 с

В этом случае группу охарактеризуем как (81 ± ±3,6) с.

Примечание. В приложениях 4 и 5 приведены таблицы возведения чисел в квадрат к извлечения квадратного корня.

Примеры 3 и 4

Существует приближенный способ определения среднего квадратического отклонения σ, основанный на так называемом правиле шести сигм. В соответствии с этим способом среднее квадратическое определяется так:

σ =

где σ — среднее квадратическое отклонение;

Х_max —наибольший вариант в ряду;

X_min — наименьший вариант в ряду.

Среднее квадратическое, вычисленное по формуле (7), дает только ориентировочное значение.

Так, в примере 2:

σ = c (точное значение 3,6 с)

В примере 3:

σ = (точное—1,6 очка).

В примере 4:

σ = (точное—3 броска).