Лабораторна робота № 2

Розв’язання систем лінійних рівнянь

Теоретичні відомості

Дана система n лінійних рівнянь з n невідомими:

або у матричній формі

,

де

, , .

А – матриця системи, що складена з коефіцієнтів при невідомих; b – вектор вільних членів системи; х – вектор невідомих.

Система має розв’язок і цей розв’язок є єдиним, якщо її визначник не дорівнює нулю .

Розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гауса складається з двох етапів:

1. Перетворення вихідної системи до трикутного виду (прямий хід).

2. Визначення невідомих (зворотний хід).

Приклад 2.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

.

Прямий хід. Виключимо невідоме х ₁ з другого та третього рівнянь системи. Розділивши елементи першого рядка на a ₁₁=5 отримуємо перше опорне рівняння:

.

Далі помножимо його на a ₂₁=1 і віднімемо з другого рядка, після чого помножимо опорний рядок на a ₃₁= –3 і віднімемо з третього рівняння. Отримаємо систему:

.

Друге опорне рівняння – результат ділення другого рядка системи на коефіцієнт при х ₂:

.

Після множення цього рівняння на коефіцієнт при х ₂ третього рівняння (тобто 2) і віднімання з останнього рівняння системи, отримаємо:

.

Зворотний хід. З останнього рівняння знаходимо х ₃=1.

,

.

Для розв’язання системи методом простої ітерації необхідно вихідну систему привести до вигляду:

. (2.1)

Ітераційний процес виконується за формулою:

. (2.2)

Процес збігається, якщо будь-яка з норм матриці менше одиниці:

, , . (2.3)

Для приведення системи до вигляду, необхідного для виконання ітерацій, з першого рівняння виражають х ₁, з другого рівняння х ₂ і т.д. В результаті отримаємо систему з матрицею С, в якій на головній діагоналі стоять нульові елементи, а інші елементи обчислюються за формулою:

.

Елементи вектора f обчислюються за формулою:

.

Приклад 2.2. Виконати три ітерації методом простої ітерації:

.

Перетворимо систему до вигляду, необхідному для ітерацій:

,

, .

Оберемо як початкове наближення вектор f:

.

Розрахунки на першому кроці ітераційного процесу мають вигляд:

Аналогічно отримаємо наступне наближення:

.

Завдання

Дана система рівнянь Ax=b.

1. Знайти розв’язок системи за допомогою методу Гауса.

2. Розв’язати систему методом ітерацій.

3. Розв’язати систему за допомогою вбудованої функції lsolve.

4. Розв’язати систему за допомогою блоку Given…Find.

Порядок виконання

Метод Гауса

– нумерація елементів векторів та матриць починається з 1:

– формування розширеної матриці;

– номер рівняння.

Множники першого кроку:

Виключення змінної х ₁ з другого та третього рівнянь:

Множники другого кроку методу Гауса:

Виключення х ₂ з третього рівняння (для цього множимо друге рівняння на коефіцієнт 0,667 і віднімаємо з третього):

Матриця системи, що приведена до трикутного вигляду:

Зворотний хід метода Гауса:

Вектор розв’язку системи:

Метод простих ітерацій

– умова збіжності виконана;

– початкове наближення;

– номер ітерації;

– ітераційна формула;

Розв’язання за допомогою вбудованої функції lsolve

Розв’язання за допомогою блоку Given…Find

Примітка: Усередині обчислювального блоку при наборі рівнянь використовується знак логічної рівності (вводиться клавішами [Ctrl] та [=]).

Контрольні питання

1. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь.

2. Алгоритм методу Гауса.

3. В чому суть методу простих ітерацій?

4. Умова збіжності та завершення процесу для методу простих ітерацій.

5. Які способи розв’язання систем лінійних рівнянь є в Mathcad?

Варіанти завдань

№	А	b	№	А	b
			–1	–3		–4			–5
–1				–1			–5
	–1

			–1				–1		–3
	–3			–1			–1

			–1	–5
–1						–1
	–2					–4

			–1	–1					–6
–2							–1
			–3				–5

			–1
					–2		–3
	–1				–1		–1

		–1		–2			–1		–5
		–2	–4
	–1					–4	–7

		–1
		–1			–3
–1			–5		–1

			–1				–1
					–3		–6
	–1

			–1				–1		–6
	–4		–5	–2
					–1

		–1						–1
				–1
	–1			–1			–5

			–1	–2			–1		–4
		–1		–1
					–1

			–1	–4				–1
	–5				–5		–2
	–2

		–1
–1			–1