Приклад 1. Визначити число молекул, що містяться в 1 см3 води, і масу молекули води. Виходячи з того, що молекули води мають вигляд кульок, що стикаються одна з одною, знайти діаметр молекул.
Дано: V = 10-6 м3, 18·10-3 кг/моль, 103 кг/м3.
Знайти: N, m 1, d.
Розв’язок. Спочатку, користуючись таблицями фізичних величин, знайдемо густину, а потім і молярну масу води. Молярна маса пов’язана з відносною молекулярною масою речовини Mr формулою
кг/моль. (1)
Відносна молекулярна маса речовини дорівнює сумі відносних атомних мас всіх елементів, атоми яких входять до складу молекули даної речовини, і визначається формулою
, (2)
де Ar,i – відносна атомна маса i -го елемента, а ni – число атомів i -го елемента, що входять у молекулу.
Хімічна формула води має вигляд H2O. Звідси випливає, що до складу даної молекули входять два атоми водню (n 1 = 2) і один атом кисню (n 2 = 1). Значення відносних атомних мас водню і кисню знайдемо з таблиці Д.І. Менделєєва: Ar, 1 = 1; Ar, 2 = 16.
Таким чином, з (1) і (2) для води маємо
= (n 1 Ar ,1 + n 2 Ar ,2)·10-3 = (2·1 + 1·16)·10-3 = 18·10-3 кг/моль.
|
|
Відповідно до визначення, кількість однорідної речовини даної маси m дорівнює
, (3)
де NA – число Авогадро.
Виразивши масу як добуток густини на об’єм V, з виразу (3) одержимо
. (4)
Масу однієї молекули легко знайти, поділивши молярну масу на число Авогадро
. (5)
Для визначення діаметру молекули води приблизно будемо вважати, що в рідині молекули мають форму кульок, що щільно прилягають одна до одної. Згідно з цими уявленнями на кожну молекулу приходиться об’єм V 1, що дорівнює об’єму кубічного осередку зі стороною d
V 1 = d 3. (6)
З іншого боку, об’єм V 1 можна знайти, розділивши повний об’єм на число молекул
. (7)
Таким чином, підставляючи вираз (7) у (6) і використовуючи (4), можна одержати
. (8)
Обчислення.
= 3,34·1019;
= 2,99·10-26 кг;
м.
Відповідь: N =3,34·1019 молекул; m 1 =2,99·10-26 кг; d = 3,11·10-10 м.
Приклад 2. У посудині об’ємом 2 м3 знаходиться суміш 4 кг гелію і 2 кг водню при температурі 27 0С. Визначити тиск і молярну масу суміші газів.
Дано: V = 2 м3; m 1 = 4 кг; m 2 = 2 кг; 4·10-3 кг/моль;
= кг/моль; T = 300 К.
Знайти: p; .
Розв’язок. За законом Дальтона тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків газів p 1 і p 2, що входять до складу суміші
p = p 1 + p 2. (1)
Фізичні умови, при яких знаходиться суміш газів, не екстремальні, тому в цій задачі застосовано рівняння Клапейрона-Менделєєва
. (2)
Застосовуючи це рівняння до гелію і водню, знайдемо їхні парціальні тиски p 1 і p 2
; (3 а)
. (3 б)
Підставляючи вираз (3) у (1), знайдемо тиск суміші
. (4)
Молярну масу суміші знайдемо як відношення сумарної маси m до сумарної кількості речовини суміші
. (5)
Тут
m = m 1 + m 2; (6 а)
|
|
, (6 б)
де і – число молей гелію і водню, які визначаються відповідно формулами
; (7 а)
. (7 б)
Підставляючи в (5) вираз (6) і (7), одержимо остаточно
. (8)
Обчислення.
= 24,9×105 Па;
= 3·10-3 кг/моль.
Відповідь: p = 24,9·105 Па; = 3·10-3 кг/моль.
Приклад 3. У балоні об’ємом 10 л знаходиться гелій під тиском 1 МПа і при температурі 300 К. Після того, як з балону було взято 10 г гелію, температура в балоні знизилася до 290 К. Визначити тиск гелію, що залишився у балоні.
Дано: V = 10-2 м3; p 1 = 106 Па; T 1 = 300 К; T 2 = 290 К; m = 10-2 кг; = 4·10-3 кг/моль.
Знайти: p 2.
Розв’язок. Маса газу, що вийшов з балона, мабуть, дорівнюватиме
m = m 1 – m 2, (1)
де m 1 і m 2 – відповідно початкова і кінцева маси гелію в балоні.
З рівняння Менделєєва-Клапейрона для вихідного стану знайдемо первісну масу газу m 1, а для кінцевого стану – пошукуваний тиск p 2
. (2)
. (3)
Тепер можна виразити m 2 з виразів (1) і (2) і підставити результат у вираз (3)
. (4)
Обчислення.
= 3,64·105 Па.
Відповідь: p 2 = 3,64·105 Па.
Приклад 4. Знайти середню кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі 350 К, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул кисню масою 4 г.
Дано: T = 350 К; m = 4·10-3 кг, = 32·10-3 кг/моль.
Знайти: ; .
Розв’язок. Середня енергія обертального руху молекул визначається виразом
, (1)
де k – стала Больцмана, а іоб – число обертальних ступенів вільності молекули.
Обертальному рухові двохатомної молекули відповідають два ступені вільності. Таким чином, для даної задачі іоб = 2.
Кінетична енергія обертального руху всіх молекул газу очевидно дорівнює добуткові числа молекул N на їхню середню енергію обертального руху
. (2)
Число всіх молекул газу можна знайти, використовуючи вираз
. (3)
Підставляючи (1) і (3) у (2), одержимо для Eоб такий вираз
. (4)
Обчислення.
Дж;
Дж.
Відповідь: ε об = 4,63·10-21 Дж; E об = 364 Дж.
Приклад 5. Кисень масою 2 кг займає об’єм 1 м3 і знаходиться під тиском 0,2 МПа. Газ було нагріто до об’єму 3 м3, а потім при сталому об’ємі до тиску 0,5 МПа. Знайти зміну внутрішньої енергії газу, виконану ним роботу і теплоту, передану газу. Побудувати графік процесу.
Дано: m = 2 кг; 32·10-3 кг/моль; V 1 = 1 м3; V 2 = V 3=3 м3; p 1 =
p 2 = 2·105 Па; p 3 = 5·105 Па.
Знайти: U; A; Q.
Розв’язок. З умови задачі випливає, що зміна термодинамічних параметрів системи відбувається у два етапи. Повну зміну внутрішньої енергії газу можна визначити з виразу: . (1) Тут – різниця температур у кінцевому і початковому станах, а i – ціле число, обумовлене кількістю ступенів вільності молекули. Для двоатомної молекули кисню за типових | Рис. 2.1. |
умов i = 5, тому що в тепловому русі беруть участь 3 ступені свободи поступального руху і 2 ступені свободи обертального руху, а коливальний рух практично відсутній.
Початкову і кінцеву температуру газу можна знайти з рівняння Менделєєва-Клапейрона
; (2 а)
; (2 б)
. (2 в)
Відповідно до умови, на першому етапі газ одночасно розширюється і нагрівається, а на другому – тільки нагрівається. Робота розширення газу при постійному тиску (на першому етапі) виражається формулою
. (3)
На другому етапі робота розширення дорівнює нулю, тому що
V 2 = V 3. Таким чином, повна робота, виконана газом, дорівнює роботі, здійсненої ним на першому етапі, тобто A 13 = A 12.
Теплота, що передана газу, відповідно до першого закону термодинаміки, дорівнює сумі змін внутрішньої енергії і роботи
Q = U + A. (4)
Обчислення.
= 385 К;
= 1155 К;
= 2887 К;
= 3,24·106 Дж;
= 4·105 Дж;
Q = 3,24·106 +4·105 Дж = 3,64·106 Дж.
Відповідь: 3,24·106 Дж; A = 4·105 Дж; Q = 3,64·106 Дж. Графік процесу представлений на рис. 2.1.
Приклад 6. Об’єм аргону, що знаходиться під тиском 80 кПа, збільшився від 1 л до 2 л. На скільки зміниться внутрішня енергія газу, якщо розширення відбувалося: а) ізобарно; б) адіабатно?
Дано: V 1 = 1·10-3 м3; V 2 = 2·10-3 м3; p = 8·104 Па; = 40·10-3 кг/моль; i = 3.
|
|
Знайти: ; .
Розв’язок. Зміна внутрішньої енергії визначається формулою
. (1)
а) Ізобарний процес. Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона для початкового і кінцевого станів газу
; (2 а)
. (2 б)
Віднімемо з другого виразу перше
. (3)
З виразів (1) і (3) легко одержати остаточну формулу для цього випадку
. (4)
Обчислення.
= 121 Дж.
б) Адіабатичний процес. Робота при адіабатичному процесі виражається формулою
або . (5)
Тут – показник адіабати. Для ідеального газу його можна визначити з виразу
. (6)
Адіабатичний процес протікає без теплообміну з навколишнім середовищем, тому робота відбувається за рахунок внутрішньої енергії, тобто Q = 0, а . Таким чином, у даному процесі зміну внутрішньої енергії можна знайти з виразу
. (7)
Обчислення.
= 1,67;
= –44,6 Дж.
Відповідь: = 121 Дж; = –44,6 Дж.
Приклад 7. Теплова машина працює за циклом Карно. Машина за цикл одержує від нагрівача 1 кДж теплоти і виконує роботу, що дорівнює 350 Дж. Температура нагрівача 500 К. Знайти ККД циклу, температуру холодильника і кількість теплоти, що віддається холодильнику.
Дано: T 1 = 500 К; А = 350 Дж; Q 1 = 1000 Дж.
Знайти: ; T 2; Q 2.
Розв’язок. ККД циклу теплової машини визначається формулою
. (1)
З іншого боку, ККД циклу Карно дорівнює
. (2)
Оскільки теплова машина працює за циклом Карно, формули (1) і (2) визначають той самий ККД (). Тоді з (2) виходить, що
. (3)
Кількість теплоти, віддану холодильнику, знайдемо з виразу
. (4)
Обчислення.
;
T 2 = (1 – 0,35)500 = 325 К;
Q 2 = 1000 – 350 = 650 Дж.
Відповідь: = 0,35; T 2 = 325 К; Q 2 = 650 Дж.
Приклад 8. Знайти зміну ентропії при переході 6 г водню від об’єму 20 л під тиском 150 кПа до об’єму 60 л під тиском 100 кПа.
Дано: = 2·10-3 кг/моль; m =6·10-3 кг; p 1 = 1,5·105 Па; V 1 =
=2·10-2 м3; p 2 = 105 Па; V 2 = 6·10-2 м3; i = 5.
Знайти: .
Розв’язок. Зміна ентропії термодинамічної системи визначається виразом
. (1)
Тут dQ – приріст кількості теплоти, для якого перший закон термодинаміки можна записати в диференціальній формі
, (2)
де CV – молярна теплоємність газу при постійному об’ємі
. (3)
Використовуючи рівняння Менделєєва-Клапейрона, температуру можна виразити через інші термодинамічні параметри
|
|
. (4)
Звідси знайдемо диференціал
. (5)
Після підстановки виразу (5) у (2), а потім у (1), одержимо
. (6)
Остаточно, підставляючи (3) у (6), одержимо:
. (7)
Обчислення.
= 71 Дж/К.
Відповідь: = 71 Дж/К.
Приклад 9. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул і число зіткнень за 1 с, що відбуваються між усіма молекулами кисню, що знаходиться у посудині об’ємом 2 л при температурі 27 0С и тиску 100 кПа.
Дано: V = 2·10-3 м3; = 32·10-3 кг/моль; Т = 300 К; p = 105 Па;
d = 2,9·10-10 м.
Знайти: ; Z.
Розв’язок. Середня довжина вільного пробігу молекул обчислюється за формулою
. (1)
Тут d – ефективний діаметр молекули, а n – концентрація молекул, яку можна визначити з рівняння p = nk Т, звідки
, (2)
де k – стала Больцмана.
Визначаючи концентрацію з формули (2) і, підставляючи її в (1), знайдемо
. (3)
Число зіткнень, випробовуваних однією молекулою за 1 с, дорівнює
, (4)
де – середня арифметична швидкість руху молекул
. (5)
Кількість молекул у посудині N дорівнює
. (6)
Число зіткнень Z, що відбуваються між усіма молекулами за 1 c, дорівнює
, (7)
де коефіцієнт 1/2 застосовується для того, щоб зіткнення кожної пари молекул враховувати тільки один раз.
Таким чином, підставляючи вираз (4)–(6) у (7), попередньо визначаючи концентрацію молекул з виразу (2), знайдемо остаточно
. (8)
Обчислення.
= 3,56·10-8 м;
= 9·1028 c-1.
Відповідь: 3,56·10-8 м; Z = 9·1028 c-1.
Приклад 10. Знайти додатковий тиск усередині мильної бульбашки діаметром 10 cм. Яку роботу потрібно виконати, щоб видути цю бульбашку?
Дано: d = 0,1 м; = 4·10-2 Н/м.
Знайти: ; A.
Розв’язок. Плівка мильної бульбашки має дві сферичні поверхні: зовнішню і внутрішню. Обидві поверхні натискають на повітря, що міститься всередині бульбашки. Оскільки товщина плівки надзвичайно мала, то діаметри обох поверхонь практично однакові. Тому додатковий тиск дорівнює
, (1)
де – коефіцієнт поверхневого натягу; – тиск, створюваний усередині сферичної поверхні; – радіус мильної бульбашки.
Таким чином, додатковий тиск можна знайти з виразу
. (2)
Робота, яку потрібно зробити, щоб, розтягуючи плівку, збільшити її поверхню на , виражається формулою
, (3)
де S – загальна площа двох сферичних поверхонь плівки мильної бульбашки; S 0 – загальна площа двох поверхонь плоскої плівки, що затягує отвір трубки до видування бульбашки.
Нехтуючи S 0, одержуємо
. (4)
Обчислення.
Па;
A = 2·3,14·0,12·40·10-3 = 2,5·10-3 Дж.
Відповідь: = 3,2 Па; A = 2,5·10-3 Дж.