Контрольная работа № 3

(Задания 1 и 2)

Задание 1.

1. Номер варианта определяется по таблице, представленной на стр. 4.

2. В соответствии со своим вариантом используйте начальные данные, представленные в следующей таблице:

№ вар.
				3,5	0,9
				4,5	0,3
					1,7
				3,5	0,5
					0,3
				5,5	0,3
				5,5	3,2
					0,6
				4,5	0,4
				4,5	0,7
					1,7
				3,5	1,5
					0,8
					1,4
					1,1

Условие задачи:

В промышленности для очистки газов от пыли применяются электрофильтры. Возможная конструкция электрофильтра показана на рисунке. Электрофильтр представляет собой два электрода в виде коаксиальных цилиндров, между которыми создается электрическое поле. Внутренний (коронирующий) электрод соединен с отрицательным полюсом источника, наружный (осадительный) электрод соединен с положительным полюсом. При попадании пылинки в промежуток между электродами она приобретает отрицательный заряд и под действием электрического поля движется к осадительному электроду, где и оседает.

Пример решения задачи

Дано:

U = 48 кВ = 48×10³ В

d = 2 мм = 2×10^{-3 м}

D = 290 мм = 0,29 м

R = 0,9 мкм = 9×10^{-7 м}

l = 3,5 м

r = 4000 кг/м³

Найти:

1. Зависимость напряженности E электрического поля от расстояния до оси электродов.

2. Зависимость потенциала φ от расстояния r до оси электродов.

3. Линейную плотность τ электрических зарядов на электродах.

4. Ускорение a, которое получает пылинка, находящаяся посередине между электродами.

5. Электрическую емкость C электрофильтра.

6. Энергию электрического поля W в фильтре.

7. Плотность энергии электрического поля возле коронирующего w₁ и осадительного w₂ электродов.

Электростатическое поле в фильтре создается коронирующим электродом. Напряженность Е электрического поля равномерно заряженного цилиндра равна:

(1)

uде t - линейная плотность электрического заряда на цилиндре, - электрическая постоянная, r - расстояние от оси цилиндра, e - диэлектрическая проницаемость воздуха, которую принимаем равной 1. Разность потенциалов между коронирующим и осадительным электродами равна:

(2)

- радиус коронирующего электрода, - радиус осадительного электрода.

После подстановки формулы (1) в равенство (2) и интегрирования получим:

(3)

Осадительный электрод заземлен, поэтому его потенциал . Тогда потенциал коронирующего электрода .

Из формулы (3) следует:

Проверка единиц измерений:

С учетом найденного значения tпо формуле (1) рассчитаем величину напряженности электрического поля Е в зависимости от расстояния r. Значения r берутся в пределах от до .

Преобразуя формулу (3), получим выражение для расчета зависимости потенциала j от расстояния r:

(4)

В равенстве (4) величина t берется по абсолютному значению. Расчет проводим для разных значений r в пределах от до . Результаты расчета представлены в таблице (величина Е взята по абсолютному значению).

r, мм	Е(r), кВ/м	j(r), кВ
		-48
		-41,3
		-34,6
		-27,9
		-21,3
		-5,7
	96,8	-3,6
	80,7	-1,8
	66,8

Ускорение пылинки a определяется по второму закону Ньютона:

(5)

Здесь F - сила действия электрического поля на заряженную пылинку, m - масса пылинки.

, (6)

где q - заряд пылинки, E - напряженность электрического поля.

Масса пылинки , где - плотность пылинки, - объем пылинки. Полагаем, что пылинка является шариком с объемом .

Тогда: (7)

Уравнение (5) с учетом формул (1), (6) и (7) примет вид:

(8)

Если пылинка находится посередине между электродами, то с учетом, что , расстояние r от пылинки до оси цилиндров равно:

(9)

Подставив (9) в (8), получим:

(10)

Опытным путем установлено следующее:

1) Если радиус пылинки , то ее заряд равен:

(11)

Здесь - напряженность электрического поля коронного разряда.

С учетом того, что для воздуха , формула (9) примет вид:

(12)

После подстановки равенства (12) и численных значений констант e_о и p в равенство (10) получим следующую формулу для вычисления ускорения пылинки:

(13)

2) Если же радиус пылинки R £ 1 мкм, то ее заряд равен:

, (14)

где - элементарный электрический заряд.

После подстановки равенства (14) и численных значений констант e_о, p и е в равенство (10) получим следующую формулу для вычисления ускорения пылинки:

(15)

В данной задаче радиус пылинки R = 0,9 мкм. Поэтому ускорение пылинки будем вычислять по формуле (15).

Вычисления

Расчет электроемкости проводим с использованием формулы емкости цилиндрического конденсатора:

Значение электроемкости электрофильтра также можно определить по формуле:

- заряд конденсатора, U - напряжение на конденсаторе

Используя абсолютное значение линейной плотности заряда , вычисленное ранее, получим:

Энергия W электрического поля в фильтре:

Плотность энергии электрического поля:

Значения напряженности E электрического поля берем из таблицы.

Плотность энергии электрического поля коронирующего электрода:

Плотность энергии электрического поля осадительного электрода:

Задание 2.

1. Номер варианта определяется по таблице, представленной на стр. 4.

2. В соответствии со своим вариантом используйте начальные данные, представленные в следующей таблице:

№ вар.	N	d мм	D см	ρ нОм·м	ε В	r Ом	Тип частицы	m кг	М*	a град.	U В
		2,5								0,002
		3,0
		2,5					Протон	1,67·10-27		2,5
		0,5					Электрон	9,1·10-31
		0,2					a-частица	6,64·10-27
							Протон	1,67·10-27
		1,0
		1,0					Протон	1,67·10-27		0,001
		0,3					Электрон	9,1·10-31		3,4
		1,3					a-частица	6,64·10-27
		2,5
		2,0								0,5
		2,0
		1,0								0,003
										0,002

Условие задачи:

Соленоид представляет собой цилиндрический каркас (сердечник) на который равномерно виток к витку намотан провод. По проводу пропускается электрический ток, который создаёт в сердечнике магнитное поле. В соленоид под углом a к его оси влетает заряженная частица массой m, ускоренная электрическим полем с разностью потенциалов U, и начинает двигаться по спирали.

Пример решения задачи

Найти: 1. Силу тока в соленоидеI. 2. Мощность P1, выделяемую в соленоиде. 3. Мощность P2, выделяемую на внутреннем сопротивлении источника тока. 4. Индукцию B и напряженность H магнитного поля в соленоиде. 5. Магнитный поток через поперечное сечение соленоидаФ. 6. Потокосцепление Ψ. 7. Радиус Rсп и шаг спирали f, описываемой частицей при движении в соленоиде. 8. Индуктивность соленоидаL. 9. Энергию магнитного поля W и плотность энергии магнитного поля в соленоиде w.

Дано:

N = 1600

d =2,5 мм = 2,5×10^{-3 м}

D= 11см = 0,11м

r_эл = 65·10^-9 Ом·м

ε = 40 B

r = 2 Ом

Тип частицы – Fe⁺⁺⁺

М^* = 56

U = 1250 B

a = 80 ⁰

			Сила тока находится по закону Ома для замкнутой цепи: , (1) где - ЭДС источника, R- сопротивление соленоида, r - внутреннее сопротивление источника тока.

, (2)

где ρ_эл - удельное сопротивление, l _n = πD·N - длина провода, πD- длина одного витка, D- диаметр витка, N- количество витков, = - площадь поперечного сечения провода, d- диаметр провода.

После преобразований получим:

Находим значения R и I:

= 7,32 Ом.

I = = 4,29 А

Мощность P₁, выделяемая в соленоиде, и мощность P₂, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника тока, определяется по закону Джоуля-Ленца:

P₁= I²×R, P₂= I²×r

Р₁ = 4,29² ·7,32 = 134,72 Вт Р₂ = 4,29² ·2 =36,81 Вт

Напряженность H магнитного поля в соленоиде:

(3)

Здесь n = - число витков на единицу длины соленоида.

H = = 1716

Индукция B магнитного поля в соленоиде

B= H (4)

Здесь - магнитная постоянная, - магнитная проницаемость среды (принимаем =1).

B = 4 = 21564×10^-7 Тл

Магнитный поток Ф через поперечное сечение соленоида S равен:

(5)

Ф =

Потокосцепление определяем по формуле:

Ψ = Ф×N = 205×10^-7×1600 = 328×10^-4 Вб (6)

Индуктивность соленоида L равна:

, (7)

где - длина соленоида.

После преобразований формула (7) примет вид:

(8)

L =

Если заряженная частица ускоряется электрическим полем с разностью потенциалов U, то она приобретает скорость v, которую можно найти из условия:

(9)

Здесь q - заряд частицы, m – масса частицы, q·U - работа сил электрического поля по ускорению заряда, m×v²/2 - кинетическая энергия частицы после ускорения. Из равенства (9) находим скорость частицы:

(10)

Внимание! 1) Если частицей в задании является электрон, протон или a -частица, то ее масса m берется из таблицы.

2) Если частицей в задании является ион, то его масса m вычисляется по формуле: , где М^* - относительная атомная масса иона (берется из таблицы), N_А = 6×10²³ 1/моль - число Авогадро.

3) Если частицей в задании является электрон или протон, то ее заряд q = 1,6×10^-19 Кл.

4) Если частицей в задании является a -частица, то ее заряд q = 3,2×10^-19 Кл.

5) Если частицей в задании является ион, то его заряд q = Z × 1,6×10^-19 Кл, где Z – степень ионизации данного иона.

В данной задаче частицей является трижды ионизированный ион железа . Заряд этого иона равен:

q = 3 × 1,6×10^-19 = 4,8×10^-19 Кл (11)

Массу иона железа m определяем по формуле:

(12)

Подставив (11) и (12) в уравнение (10), найдем скорость иона железа, влетающего в соленоид:

Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле соленоида. Она влетает со скоростью v, составляющей угол a с осью соленоида и соответственно с вектором магнитной индукции B магнитного поля соленоида. В общем случае, когда a ¹ 90⁰, в результате действия на заряд силы Лоренца он будет двигаться по спирали, которая характеризуется радиусом R_сп и шагом f спирали.

Разложим вектор скорости на две составляющие: V_n, перпендикулярную к направлению поля, и V_τ, параллельную этому направлению.

Из рисунка следует: , .

Значения составляющих скорости V_n и V_τ определяют величины R_сп и f соответственно.

Используя формулы для силы Лоренца и центростремительной силы и учитывая, что F_л = F_ц, получим выражение для вычисления радиуса спирали R_сп.

F_л = v_n×q×B = v×q×B×sin a

Приравняв правые части этих равенств, получим:

Шаг спирали f вычисляется по формуле:

Здесь Т – период вращения частицы по спирали.

Энергия магнитного поля:

Плотность энергии магнитного поля: