Графический метод решения параметрической задачи

Теперь, в графическом методе исследуем, как будет меняться оптимальный план при изменении b₂ - величины запаса ресурса второго вида. Поставим следующую параметрическую задачу:

(14)

Построим график зависимости прибыли от величины b₂. Для этого получим сначала, аналогично предыдущему пункту, МДП для ограничений (14) с фиксированными правыми частями, без учёта ограничения по второму ресурсу. Результат построения приведён на рис.4, а уравнения границ МДП имеют вид:

Рассмотрим теперь, как будет влиять появление ограничения по второму ресурсу на внешний вид МДП рис.4. При этом будем помнить, что решаемая нами задача относится к классу линейных, а значит и получаемые зависимости также будут линейны. Напомню также, что оптимальный план нашей задачи должен находиться в вершине МДП, а значит изменение характера линейной зависимости прибыли от запаса второго ресурса возможно при появлении у МДП новых вершин, т.е. изменении его формы. Это означает, что при построении зависимости L_opt(b₂) имеет смысл рассматривать только те значения b₂, при которых прямая второго ограничения проходит через вершины МДП рис.4, т.е. точки О (0,0), А (0,300), В (300,200), С (600,0). Для проверки этого рассмотрим также дополнительную точку D (0,150), которая лежит по середине границы ОА МДП и не является вершиной. Вычислим значения b₂, при которых прямая ограничения второго ресурса с уравнением 2 х + у = b₂ проходит через вышеупомянутые точки:

b₂(О) =2×0+1×0=0,

b₂(D) =2×0+1×150=150,

b₂(А) =2×0+1×300=300,

b₂(В) =2×300+1×200=800,

b₂(С) =2×600+1×0=1200.

Построим (см. рис.5 a.-d.) для каждого полученного значения b₂ (кроме точки О) МДП и решим для них задачу (14), т.е. найдём точки оптимальных планов именно для этих МДП! В точке О МДП содержит лишь её одну, а значит, эта точка с координатами (0,0) и есть единственный допустимый и оптимальный план задачи (14) с нулевым запасом второго ресурса. Результаты поиска оптимальных планов (см. рис.5), а также значения b₂ и L_opt сведём в таблицу №3. Приведённая в таблице 3 точка Е со значением b₂(Е) =1500 на рисунке отсутствует, для неё ограничение 2 сместилось за пределы МДП и не имеет с ним общих точек, ресурс второго типа стал избыточен и вид МДП определяется только первым и третьим ограничениями. Ситуация практически совпадает с рис.5 d и имеет тот же оптимальный план в точке С.

Таблица №3: зависимость прибыли от величины b₂.

график зависимости прибыли от величины b₂ приведён на рис.6. Видно, что, как и было отмечено выше, величина прибыли в точке D лежит на прямой, соединяющий величины прибылей в О и А, в ней наклон зависимости L_opt(b₂) не меняется. Замечу также, что эта зависимость называется линией невозрастающей эффективности (см. ниже) и отражает закон невозрастания эффективности в случае экстенсивного расширения производства. При этом, как и отмечалось выше, изломы этой линии происходят в точках, соответствующих появлению новых вершин в МДП, т.е. изменению его формы. Первый излом при переходе от треугольного МДП к четырёхугольному, второй – от четырёх- к пятиугольному и третий при обратном переходе – от пяти- к четырёхугольному МДП.

Построим теперь график зависимости К₂ - приростного коэффициента эффективности вовлечения второго ресурса от величины b₂. Учтём при этом, что К ₂=dL_opt / db₂, а производная линейной функции – константа, равная тангенсу угла наклона графика функции. Тогда на отрезке изменения b₂ от 0 до 300 К ₂ =^(1500-0)/_(300-0)=5; на отрезке изменения b₂ от 300 до 800 К ₂ =^(2500-1500)/_(800-300)=2; на отрезке изменения b₂ от 800 до 1200 К ₂ =^(3000-2500)/_(1200-800)=⁵/₄=1,25; при b₂ больших 1200 К ₂ =0. Эта зависимость приведена на рис.7, видно, что эффективность вовлечения дополнительных запасов второго ресурса остаётся постоянной, либо падает, т.е. не возрастает.