Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:
a11 х1 + a12 х2 = b1
a21 х1 + a22 х2 = b2
Выделим из этой системы три определителя: определитель самой системы D= , определитель для первого неизвестного D1= , определитель для второго неизвестного D2= . Обратим внимание, что индексы у определителей для неизвестных будут теперь соответствовать номеру неизвестного в системе. Рассмотрим три возможных случая:
1. Определитель системы D 0. Тогда имеем единственное решение х1 = , х2 = (формулы Крамера для двух неизвестных).
2. D=D1=D2=0. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.
3. D=0, но D1 или D2, или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна, т.е. не имеет никаких решений.
Совершенно аналогично строятся формулы Крамера для систем более высокого порядка. Так, для трех уравнений:
D= , D1= , D2= ,
D3= .
Тогда, если D 0, то единственное решение определится формулами хi = (i =1, 2, 3).
Так же, как и при вычислении определителей, формулы Крамера, из-за арифметических трудностей, используются на практике для систем не выше третьего - четвертого порядков.
|
|
Матрицы
Определения
Матрицей А называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов, т.е. размерность m n (m, n N). Примеры:
А = = - прямоугольная;
А = - квадратная;
А = - строка (или: матрица-строка); = А = - вектор (или: матрица-столбец); Е = - единичная (всегда квадратная); А д = - диагональная (тоже всегда квадратная).
Квадратная матрица называется симметричной, если a =a при i j.
Заметим, что матрица качественно отличается от определителя. Матрица - не число, а нераздельное множество чисел, представленное в виде таблицы. Только квадратные матрицы можно связать с определителями, которые в этом случае будут иметь статус некоторой полезной характеристики при операциях с квадратными матрицами.
Матрицы имеют большое практическое значение, т.к. многие объекты и процессы проще всего описывать именно матрицами.