2015-10-22
730
Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение
.
Заменим его равносильным уравнением
. (1)
Выберем начальное приближение корня 
и подставим его в правую часть уравнения (1). Тогда получим некоторое число
. (2)
Подставляя теперь в правую часть (2) вместо число 
получим число 
. Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел
(
). (3)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел 
, то переходя к пределу в равенстве (3) и предполагая функцию 
непрерывной найдем
или
.
Таким образом, предел 
является корнем уравнения (1) и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.
Рис. 1а Рис. 1б
Рис. 2. 
- расходящийся процесс
На рис.1а, 1б в окрестности корня 
и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай , то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Сформулируем достаточные условия сходимости метода итерации.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке 
, причем все ее значения 
и пусть 
при 
. Тогда процесс итерации сходится независимо от начального значения 
и предельное значение 
является единственным корнем уравнения 
на отрезке .
